TA的首页DOE之正交试验设计
正交试验设计法是研究与处理多因素试验的一种科学方法。它在实践经验与理论认识的基础上，利用规格化的表格――正交表，科学地挑选试验条件，合理安排试验。其优点在于能从很多试验条件中选出代表性强的少数次条件，并能对少数次试验条件的分析，找出较好的生产条件即最优或较优的试验方案。正交试验设计法最早由日本质量管理专家田口玄一提出，称为国际标准型（田口型）正交试验法。在日本，正交试验设计法得到广泛的应用，并由田口玄一进一步深化而发展成为三次设计中参数优化设计。正交试验设计法在日本几乎达到底家喻户晓的程度，认为一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法，只能算半个工程师。我国工业企业，特别是化工、纺织、医药、电子、机械企业，正交试验法的应用也取得相当的成就。针对田口型正交试验设计法计算复杂的问题，中国数学家张里千教授发明的中国型正交试验设计法，由于应用计算简便的极差分析法，非常适合工业企业和生产现场应用。本书将着重介绍中国型正交试验设计法的应用。一、名 词 介 绍 1．试验因素试验因素指当试验条件变化，试验考核指标也发生变化时，影响考核指标取值的量称为试验因素（因子），一般记为A，B，C等。试验因素可以理解为试验过程中的自变量，如：化学试验中的温度、压力、时间、催化剂用量；机构加工中的切削速度、吃刀量、刀具的几何参数等。从广义上讲，试验因素可理解为若干变量间的某种确定关系，如原料的配方比例、供货单位、工艺流程等也都可以看作为一种文义的因素。定量因素: 因素有可能按数量表示，如温度、时间、压力等称为定量描述的因素。定性因素: 如材料的品种、产品的型号、工艺流程的类别等，称为定性描述的因素。 可控因素: 在试验过程中有些因素所处的状态是可以控制或调节的，如加热温度、熔化温度、切削速度等，这样的因素称为可控因素。不可控因素: 一些因素所处的状态是不能控制或调节的，如未装空调的生产环境的温度、湿度等，称为不可控因素或干扰因素。在正交试验设计应用过程中，如无特殊规定，因素一般是指可控因素。在试验过程中只考察一个因素对试验结果（考核指标）影响的试验，称为单因素试验。若同时考察两个以上因素，则称为多因素试验。单因素试验设计一般可应用优选法进行，而多因素试验设计必须应用正交试验设计法解决。
2．因素的位级试验因素的位级（水平）是指试验因素所处的状态。一般试验方案是由若干个试验因素所组成的若干组合，因素在试验方案中变化的几种状态，就称为有几个位级（水平）。例如，在化学试验中，温度、时间、压力这些因素允许在一定范围内变化，但在一个试验方案中，温度、时间、压力等因素总是固定在几个状态中变化。温度可以是100℃，120℃，150℃等；时间可以是1h，1.5h，2h等；压力可以是1Mpa，1.5Mpa，2Mpa等。-- 这称为试验中因素的三个位级（水平）。3．考核指标考核指标是在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值（指标）。考核指标可以是定量的，也可以是定性的。定量指标: 如硬度、强度、寿命、成本、几何尺寸、各种特性等。 定量指标根据试验结果的预期要求，又可分为望目(标)值、望小值、望大值三种类型。定性指标: 不是按数而是按质区分，如质量的好与坏，天气的晴与阴、颜色的深与浅、味道的好吃与不好吃等。为考核方便，对定性指标可以用加权的方法量化为不同等级。考核指标可以是一个，也可以是多个。前者称为单指标试验设计，后者称为多指标试验设计。在我指标试验中，一般根据指标的重要程度予以加权，确定为一个综合性考核指标，以便进行计算。4．完全因素位级组合完全因素位级组合指参与试验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的试验次数。
C1 B1 C2A1 C1 B2 C2
C1 B1 C2A1 C1 B2 C2
图1 三因素两位组的完全 因素位级组合若试验中共有i个因素，每个因素各有j个位级，则其完全因素位级组合数（全部试验的次数）应有N=ji次。如，对于一个具有3个因素（A，B，C），每个因素各有两个位级（A1，A2，B1，B2，C1，C2），其完全因素位级组合数为N=23=8次，其实际组合情况如图5－1所示。随着因素位级数的增加，完全因素位级组合数也随之增加：34=8127=12845=1024 215=33768231=2 146 983 648……理论上认为只有经过全部试验（完全因素位级组合）后才能准确找出最佳的因素位级经组合（最佳试验方案）。但是，当因素位级数比较多时，实现完全因素位组组合又是不可能的。5．部分因素位级组合部分因素位级组合是从全部因素位级组合中抽取一部分因素位级组合构成试验方案，实际上是一种抽样。 C1A1B1 C2 C3 B1A1C2 B2 B3 A1B3C2 A2 A3图5－2 单因素轮换法应用程序(1)单因素轮换法在正交试验设计未发明之前，人们采用单因素轮换法实现部分因素位级组合的抽样。单因素轮换法是在若干试验因素中逐个因素去考虑哪一位试验结果好，考虑一个因素时其他因素处于确定的位级。如对一个三因素三位级的试验，按图2的程序试验。先将A，B因素确定在A1B1位级，考虑C1和C2哪个位级好，试验结果C2好。然后将A C因素确定在A1C2位级，考虑B1B2哪个位级好，试验结果B3好。最后将B C因素确定在B3C2位级，考虑A1A2哪个位级好，试验结果A2好。于是，下结论A2B3C2是最佳试验方案。显然，单因素轮换法是不合理、不科学的抽样。因为确定C2位级好的前提是与A1B1组合，但试验方案是C2位级与A2B3组合，与前提条件不符。采用单因素轮换法时，因素位级越多，结论的可信度越差，而且提供的信息不够丰富，且若不进行重复试验也给不出误差估计。（2）正交试验设计法正交试验设计法由于应用正交表安排试验方案，正交表的正交性保证了在一定置信度下的统计抽样。因此，正交试验设计法是科学的、合理的部分因素位级组合。
二、正 交 表 1．正交表的符号正交表是正交试验设计法的基本工具。它是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化的表格。正交表的符号是：
L n ( j i)其中：L――正交表的代号；n――正交表的行数（试验次数、试验方案数）；j――正交表中的数码（因素的位级数）；i――正交表的例数学（试验因素的个数）；N＝j i――全部试验次数（完全因素位级组合数）。2.正交表的结构 应用正交试验设计法，必须了解正交表，本书给出了常用的24种正交表。现在通过对最常用的两种正交表L8(27)(表1)和L9(34) （表2），介绍正交表的结构。
表1 正交表L8(27) 试验号 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 2 2 1 22 2 1 2 2 1 1 13 1 2 2 2 2 2 14 2 2 1 2 1 2 25 1 1 2 1 1 2 26 2 1 1 1 2 2 17 1 2 1 1 1 1 18 2 2 2 1 2 1 2表2 正交表L9(34) 列号 试验号 1 2 3 41 1 1 3 22 2 1 1 13 3 1 2 34 1 2 2 15 2 2 3 36 3 2 1 27 1 3 1 38 2 3 2 29 3 3 3 1
（1）正交表L8(27)该表为可容纳7个因素各类个位级，具有的放矢个试验方案的正交表，其特点如下：①具有8个横行，表示8个试验方案的因素位级组合；②具有7个直列，表示最多可容纳7个试验因素；③正交表中横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。正交表L8(27)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现4次，即每个数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的8个数字对（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）恰好各出现2次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。
（2）正交表L9(34)该表为可容纳4个因素各3个位级，具有9个试验方案的正交表。其特点如下：①具有9个横行，表示9个试验方案的因素位级组合；②具有4个直列，表示最多可容纳4个试验因素；③正交表横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。正交表L9(34)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现3次，即每个 数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的9个数字对中，（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）和（3，3）各出现1次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。ABCDEFGBCDEFGACDEFGABDEFGABCEFGABCDFGABCDEGABCDEF图3七元素拉丁方图示3．正交表的由来正交表来源于正交拉丁方。（1）拉丁方古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族的代表，每列也要有一个民族的代表。数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。图3所示为七个元素组成的拉丁方。拉丁方的排列有许多种型式。这只是其中的一种方式。（2）正交拉丁方若有(n-1)个拉丁方（元素数为n）重叠后组成的新拉丁方中，每一个元素都不相同，则称这(n-1)个拉丁方为互为正交拉丁方。目前已知，除n=2和n=6以外都存在互为正交拉丁方。图4所示的为n=3的一对互为正交拉丁方，由此可演变为正交表L9(34)。同理两个元素的拉丁方可演变为正交表L4(23)。对n不同元素的互为正交拉丁方则可演变出一系列的正交表。
行列拉希
演变为L9(34) 正交表图4 正交拉丁方及演变为正交表4．正交表的正交性正交表的正交性体现在因素位级的均衡分散性和整齐可比性两个方面。（1）整齐可比性在同一张正交表中，每个因素的每个位级出现的次数是完全相同的。由于每个因素的每个位级试验结果中与其他因素的每个位参与试验的机率是完全相同的，这就保证在各个位级中最大程度地排除了其他因素位级的干扰。因而，能最有效地进行比较和作出展望，容易找到好的试验条件。（2）均衡分散性在同一张正交表中，任意两列（两个因素）的位级搭配（横向形成的数字对）是完全相同的。这样就保证了试验条件均衡地分散在因素位级的完全组合之中，因而具有很强的代表性，容易好的试验条件。图5和图6分别表示在三因素各两位级、三因素各三位级的均衡分散性。
图5三因素两位级的均衡分散示意图
图6三因素三位级的均衡分散示意图
正交试验设计法所以具有很高的效率，主要是由于正交表的这两个特性。在应用正交表时必须要用两性对所有的正交表进行检查、验证。
三、正交试验设计法的基本应用程序正交试验设计法有两大类型，即国际标准型（田口型）和中国型。这里主要介绍中国型正交试验设计的应用。――明确试验目的，确定考核指标。――挑因素、选位级、确定因素位级表。――选择适宜的正交表。注：中国型正交试验设计法根据因素位级的数量，直接选用正交表，因素可以填满直列，也可以不填满直列。田口型正交试验设计法还需要考虑因素之间的交互作用，进行表头设计，同时因素不能填满直列，最少要空出一个直列以便进行方差计算。
――因素位级上正交表，确定试验方案，并按试验方案进行试验。――试验结果分析（析因分析）注：中国型正交试验法对试验结果采用极差分析法进行分析。田口型正交试验设计法采用方差分析法进行分析。
极差分析法的应用步骤： ①看一看，可靠又方便：直接从诸试验方案的试验结果中找出最好的试验结果。 ②算一算，有效又简单：ⅰ）计算各因素、各位级的贡献系数K，注：贡献系数为每位级参加试验各次考核结果的累加值。ⅱ）计算各因素贡献系数的极差R。注：极差为该因素各位级贡献系数中的最大值与最小值之差。ⅲ）将诸因素按极差的大小，由大向小依次排列。注：极差大小反映该因素的重要度。ⅳ）根据各因素各位级贡献系数值确定好位级，展望好的试验条件。注：好位级的选择：a) 望大值质量特性，贡献系数大好；b) 望小值质量特性，贡献系数小好；c) 望目值质量特性，贡献系数的平均值接近目标值好。――进行调优试验，必要时反复调优，逼近最估试验方案。调优试验时，选择因素的原则：①重要因素有苗头处加密；②次要因素按技术、经济两方面综合确定；③有疑问的因素重复考虑；④意外发现补充考虑；⑤第一轮试验结果若与期望目标相差太远或试验结果不理想，是由于因素位级选择不当，应重新考虑选择因素位级。――确定最优方案并进行生产验证；――标准化。
四、 复 合 因 素 有时候，需要考察的因素比较多，但因试验次数受到限制，正交表的列数不够用，这时，可将若干种因素合并成为一种因素进行考察。表3 因素位级表因素 A＋B＋C A：B：C 熔化带直径 炉缸直径(mm) 仪器和班次位级1 100 1：3：2 φ800 φ540 甲 早位级2 200 1：1：1 φ770 φ510 乙 中位级3 150 2：1：2 φ820 φ570 丙 晚
五、活 动 位 级 的 应 用 有的试验，根据过去的经验与认识，安排方案时已经知道在某些因素之间有一定程度的依赖关系。一种因素用量的选取，需随另外因素的用量而定。这时，可采用活动位级的方法。
六、拟 位 级 和 后 备 位 级 正交表是一种整齐规则的表。它的列数、位级数与试验次数之间都保持一定关系。在决定好要考察的因素以后，对任意多个位级并不都有正好合用的表。对于连续变化的因素，位级的个数可以根据需要而适当选定时，问题容易解决。对于分散对象的因素，像四种催化剂、两台机器、五种原料等，位级的个数自然形成，不便于随意改变。遇到这种情形，有时候找不到试验次数少的正交表。对于这类因素，下面讨论一下怎样调整位级的个数，选出合用的表。例如，在一项化学反应中，考察设备种类、催化剂品种、原料品种和反应时间共四种因素。设备分两套，催化剂有四个品种，原料和时间都分三个位级。假如位级个数一成不变，则需用到L36，嫌次数太多。这时可调整一下前面两种因素的位级数目，制订因素位级表如表4。表4 因素位级表因素 设备 催化剂品种 原料品种 反应时间位级1位级2位级3 甲乙（甲） 卯寅子 长春武汉广州 30min40min20min
四种因素，都当作三个位级，可以套用L9(34)。拟位级：设备只有甲、乙两个位级，现在要扩充成三个位级。由于猜想设备甲可能比较好，愿意多做些试验。除了把设备甲对应于位级号码“1”以外，还把它再次对应于剩下的位级号码“3”。作为位级3的设备甲，称作拟位级。这样一来，用设备乙做三次试验，而用设备甲做六次试验。计算时，还是分别求位级1，3的各三次结果之和，看看Ⅰ，Ⅲ的差别怎样。如果Ⅰ，Ⅲ差别不大，则说明设备甲的效果比较稳定和可靠；反之，如果差别大，则说明设备甲同其他因素之位级的配合方式会起额外的作用，现象比较复杂。下批试验中，可对较好的设备继续试验。后备位级：催化剂有子、丑、寅、卯四个品种。为了首批试验的次数不至于太多，要缩减成三个位级。把估计效果可能好的品种卯、寅、子，分别对应于位级1，2，3，先做试验，而让效果估计比较差的品种丑，在首批中暂不试验，等着看出其他催化剂同另外因素的配合情况后，放在第二批补充试验。这样的品种丑，叫做后备位级。通过这种增加或减少位级的措施，后面附的常用正交表通常是够用的。超过36次的正交表可查其他资料。七、试 验 结 果 的 综 合 评 分 法 在多指标正交试验设计中，作完试验得出每号试验的各个指标结果后，依据一定的评分标准，得到各号试验的综合评分，以综合评分值作为单指标进行分析，简化分析过程，这种方法称为综合评分法。综合评分法的关键在于评分。评分既要反映各项指标的要求，又要反映出指标的重要程度。综合评分法可以分为次序评分法和公平评分法。1．次序评分法如果试验后得到的各项指标对整个试验是同等重要的，则可按指标的数值及相邻次序的差异程度，按一定的规则给各号试验评分。评分采用100，10，5分均可。表5是对精矿粉进行造球配方试验因素位级表。考核指标有抗压强度、落下强度、裂纹度三项要求。表5－30为正交表L9(34)和试验结果。表5为综合评分表。之后的步骤与前叙述相同，通过级差分析法展望的好条件为B3A3C1D1。表5 因素位级表因素 A水分 B粒度 C碱度 D膨润土位级1 9 30 1.2 1.0位级2 10 60 1.4 1.5位级3 8 80 1.6 2.0表6 L9(34)试验计划及试验结果分析表 因素试验号 A水分 B粒度 C碱度 D膨润土 拉压强度 落下强度 裂纹度 综合评分1 1(9) 1(30) 1(1.2) 1(1.0) 11.3 1.0 2 652 1 2(60) 2(1.4) 2(1.5) 4.4 3.5 3 503 1 3(80) 3(1.6) 3(2.0) 10.8 4.5 3 604 2(10) 1 2 3 7.0 1.0 2 555 2 2 3 1 7.8 1.5 1 656 2 3 1 2 23.6 15.0 0 1007 3(8) 1 3 2 9.0 1.0 2 608 3 2 1 3 8.0 4.5 1 709 3 3 2 1 13.2 20.0 0 95K1 175 180 235 225 ∑=620K2 220 185 200 210 K3 225 225 185 185 R 50 75 50 40
表7 综合评分表排顺序 评分（100分制）6号试验 100分 9号试验 95分 8号试验 70分 （因指标差距较大）1号和5号试验 65分 （因指标各有所长）3号和7号试验 60分 4号试验 55分 2号试验 50分
2．公平评分法根据多指标试验的目的和要求，利用一定的公式进行综合评分的方法称为公平评分法。表8 是五吨冷风冲天炉为提高铁水质量、降低生产成本的正交试验设计因素位级表。考核指标为：铁水湿度要高于1400℃，熔化速度要大于5t/h，总焦铁比要尽量高。这是根据专业知识确定的因素位级表。
表8 因素位级表因素 熔化带直径＊炉缸直径 一排风口尺寸＊二排风口尺寸 风压 批焦铁比1:x位级1 φ760＊φ620 (φ406) 130 13.5位级2 φ740＊φ550 (φ306) 160 14.5位级3 φ720＊φ650 (φ20[i]6) 150 12.5
采用L9(34)正交表安排试验，试验结果见表9。
表9 L9(34)试验计划及结果分析表 因素试验号 A B C D 铁水温度Ti 熔化速度Vi 总焦铁比Fi 综合评分1 1 1 1 1 1480 5.3 11.7 22 1 2 2 2 1399 5.2 13.2 73 1 3 3 3 1409 5.6 12.3 64 2 1 2 3 1409 5.2 11.9 65 2 2 3 1 1405 4.9 12.5 96 2 3 1 2 1412 5.1 13.0 217 3 1 3 2 1415 5.4 13.3 248 3 2 1 3 1413 5.3 12.2 129 3 3 2 1 1419 5.1 13.5 33K1 15 32 35 44 ［因素、位级、名称、数值略］∑＝120K2 36 28 46 52 K3 69 60 39 24 R 54 32 11 28
根据生产实践和专业知识，确定评分标准为：铁水温度Ti以1400℃为基准，每增高1℃加1分，每降低1℃减1分；熔化速度Vi以5t/h为基准，每增（或减）0.1t/h都减1分；总焦铁比Fi以1:12为基准，每高0.1加1分，每低0.1减1分。综合评分数Mi可用下面的公式计算。Mi＝（Ti－1400)－10|Vi－5|＋10(Fi－12)式中的i=1，2，．．．，9。由此，可计算出每号试验的综合评分。例如：M1＝(1408－1400)－10×|5.3－5|＋10(11.7－12)＝2 M2＝(1419－1400)－10×|5.1－5|＋10(13.5－12)＝33．．．．．．其他步骤与前叙述相同，展望的好条件为：A3B3D2C2
八、 正 交 表 的 选 择 正交表的选择主要考虑以下几个方面：①考虑因素的个数；②一批允许作试验的次数；③有无重点考察的因素。实际上选择正交表时也和考虑因素的位级个数有关，也就是说，位级数的确定与正交表的选择这两个问题是相互牵连的，经常是放在一起考虑。上一节所举的各方面的实例已经说明了这一问题。表10 归纳了正交表选择时应考虑的几个方面。正交表的选择虽然比较灵活，并且常用的正交表也有几十个（本书给出了若干常用的正交表供读者应用选择）。但是，某一项试验该采用哪一张正交表，还需要考虑表10中给出的几方面的问题。
表10 选择正交表应考虑的问题因素个数 有重点因素 无重点因素 一批要求少做试验 一批允许多做试验 一批要求少做试验 一批允许多做试验3个 L8(41×24) L18(61×36) L4(23) L9(34)或L16(45)4个 L8(41×24) L18(61×36) L9(34) L9(34)或L16(45)5个 L8(41×24) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) L16(45)6个 L18(61×36) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) 或 L18(61×36) L16(44×23)7 L18(61×36) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) 或 L18(61×36) L16(44×23)
九、有交互作用的正交试验设计在多因素试验过程中，试验结果实际上是多个因素的综合作用所造成的，而且有时还会发生两个因素之间的交互作用，即一个因素与另一个因素之间有相互影响的关系。这种情况下在正交试验过程中就必须考虑到交互作用的影响。
十、 常 用 正 交 表 1． 中国科学院系统科学研究所推荐的正交表（1） L4(23) 列号试验号 1 2 31 1 1 12 2 1 23 1 2 24 2 2 1
（2） L8(27) 列号试验号 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 2 2 1 22 2 1 2 2 1 1 13 1 2 2 2 2 2 14 2 2 1 2 1 2 25 1 1 2 1 1 2 26 2 1 1 1 2 2 17 1 2 1 1 1 1 18 2 2 2 1 2 1 2
(3) L16(215)列号试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 22 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 13 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 14 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 25 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 26 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 17 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 18 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 29 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 210 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 111 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 112 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 213 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 214 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 115 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 116 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2．因素的位级试验因素的位级（水平）是指试验因素所处的状态。一般试验方案是由若干个试验因素所组成的若干组合，因素在试验方案中变化的几种状态，就称为有几个位级（水平）。例如，在化学试验中，温度、时间、压力这些因素允许在一定范围内变化，但在一个试验方案中，温度、时间、压力等因素总是固定在几个状态中变化。温度可以是100℃，120℃，150℃等；时间可以是1h，1.5h，2h等；压力可以是1Mpa，1.5Mpa，2Mpa等。-- 这称为试验中因素的三个位级（水平）。3．考核指标考核指标是在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的量值（指标）。考核指标可以是定量的，也可以是定性的。定量指标: 如硬度、强度、寿命、成本、几何尺寸、各种特性等。 定量指标根据试验结果的预期要求，又可分为望目(标)值、望小值、望大值三种类型。定性指标: 不是按数而是按质区分，如质量的好与坏，天气的晴与阴、颜色的深与浅、味道的好吃与不好吃等。为考核方便，对定性指标可以用加权的方法量化为不同等级。考核指标可以是一个，也可以是多个。前者称为单指标试验设计，后者称为多指标试验设计。在我指标试验中，一般根据指标的重要程度予以加权，确定为一个综合性考核指标，以便进行计算。4．完全因素位级组合完全因素位级组合指参与试验的全部因素与全部位级相互之间的全部组合次数，即全部的试验次数。
C1 B1 C2A1 C1 B2 C2
C1 B1 C2A1 C1 B2 C2
图1 三因素两位组的完全 因素位级组合若试验中共有i个因素，每个因素各有j个位级，则其完全因素位级组合数（全部试验的次数）应有N=ji次。如，对于一个具有3个因素（A，B，C），每个因素各有两个位级（A1，A2，B1，B2，C1，C2），其完全因素位级组合数为N=23=8次，其实际组合情况如图5－1所示。随着因素位级数的增加，完全因素位级组合数也随之增加：34=8127=12845=1024 215=33768231=2 146 983 648……理论上认为只有经过全部试验（完全因素位级组合）后才能准确找出最佳的因素位级经组合（最佳试验方案）。但是，当因素位级数比较多时，实现完全因素位组组合又是不可能的。5．部分因素位级组合部分因素位级组合是从全部因素位级组合中抽取一部分因素位级组合构成试验方案，实际上是一种抽样。 C1A1B1 C2 C3 B1A1C2 B2 B3 A1B3C2 A2 A3图5－2 单因素轮换法应用程序(1)单因素轮换法在正交试验设计未发明之前，人们采用单因素轮换法实现部分因素位级组合的抽样。单因素轮换法是在若干试验因素中逐个因素去考虑哪一位试验结果好，考虑一个因素时其他因素处于确定的位级。如对一个三因素三位级的试验，按图2的程序试验。先将A，B因素确定在A1B1位级，考虑C1和C2哪个位级好，试验结果C2好。然后将A C因素确定在A1C2位级，考虑B1B2哪个位级好，试验结果B3好。最后将B C因素确定在B3C2位级，考虑A1A2哪个位级好，试验结果A2好。于是，下结论A2B3C2是最佳试验方案。显然，单因素轮换法是不合理、不科学的抽样。因为确定C2位级好的前提是与A1B1组合，但试验方案是C2位级与A2B3组合，与前提条件不符。采用单因素轮换法时，因素位级越多，结论的可信度越差，而且提供的信息不够丰富，且若不进行重复试验也给不出误差估计。（2）正交试验设计法正交试验设计法由于应用正交表安排试验方案，正交表的正交性保证了在一定置信度下的统计抽样。因此，正交试验设计法是科学的、合理的部分因素位级组合。
二、正 交 表 1．正交表的符号正交表是正交试验设计法的基本工具。它是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化的表格。正交表的符号是：
L n ( j i)其中：L――正交表的代号；n――正交表的行数（试验次数、试验方案数）；j――正交表中的数码（因素的位级数）；i――正交表的例数学（试验因素的个数）；N＝j i――全部试验次数（完全因素位级组合数）。2.正交表的结构 应用正交试验设计法，必须了解正交表，本书给出了常用的24种正交表。现在通过对最常用的两种正交表L8(27)(表1)和L9(34) （表2），介绍正交表的结构。
表1 正交表L8(27) 试验号 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 2 2 1 22 2 1 2 2 1 1 13 1 2 2 2 2 2 14 2 2 1 2 1 2 25 1 1 2 1 1 2 26 2 1 1 1 2 2 17 1 2 1 1 1 1 18 2 2 2 1 2 1 2表2 正交表L9(34) 列号 试验号 1 2 3 41 1 1 3 22 2 1 1 13 3 1 2 34 1 2 2 15 2 2 3 36 3 2 1 27 1 3 1 38 2 3 2 29 3 3 3 1
（1）正交表L8(27)该表为可容纳7个因素各类个位级，具有的放矢个试验方案的正交表，其特点如下：①具有8个横行，表示8个试验方案的因素位级组合；②具有7个直列，表示最多可容纳7个试验因素；③正交表中横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。正交表L8(27)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现4次，即每个数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的8个数字对（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）恰好各出现2次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。
（2）正交表L9(34)该表为可容纳4个因素各3个位级，具有9个试验方案的正交表。其特点如下：①具有9个横行，表示9个试验方案的因素位级组合；②具有4个直列，表示最多可容纳4个试验因素；③正交表横行与直列交点的数码，表示该列因素的位级。正交表L9(34)中的数码，表现为每个因素的每个位级各出现3次，即每个 数码出现的机会是完全均等的。任意两列其横向组合的9个数字对中，（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）和（3，3）各出现1次，即任意两列间位级的搭配是均衡的。ABCDEFGBCDEFGACDEFGABDEFGABCEFGABCDFGABCDEGABCDEF图3七元素拉丁方图示3．正交表的由来正交表来源于正交拉丁方。（1）拉丁方古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族的代表，每列也要有一个民族的代表。数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。图3所示为七个元素组成的拉丁方。拉丁方的排列有许多种型式。这只是其中的一种方式。（2）正交拉丁方若有(n-1)个拉丁方（元素数为n）重叠后组成的新拉丁方中，每一个元素都不相同，则称这(n-1)个拉丁方为互为正交拉丁方。目前已知，除n=2和n=6以外都存在互为正交拉丁方。图4所示的为n=3的一对互为正交拉丁方，由此可演变为正交表L9(34)。同理两个元素的拉丁方可演变为正交表L4(23)。对n不同元素的互为正交拉丁方则可演变出一系列的正交表。
行列拉希
演变为L9(34) 正交表图4 正交拉丁方及演变为正交表4．正交表的正交性正交表的正交性体现在因素位级的均衡分散性和整齐可比性两个方面。（1）整齐可比性在同一张正交表中，每个因素的每个位级出现的次数是完全相同的。由于每个因素的每个位级试验结果中与其他因素的每个位参与试验的机率是完全相同的，这就保证在各个位级中最大程度地排除了其他因素位级的干扰。因而，能最有效地进行比较和作出展望，容易找到好的试验条件。（2）均衡分散性在同一张正交表中，任意两列（两个因素）的位级搭配（横向形成的数字对）是完全相同的。这样就保证了试验条件均衡地分散在因素位级的完全组合之中，因而具有很强的代表性，容易好的试验条件。图5和图6分别表示在三因素各两位级、三因素各三位级的均衡分散性。
图5三因素两位级的均衡分散示意图
图6三因素三位级的均衡分散示意图
正交试验设计法所以具有很高的效率，主要是由于正交表的这两个特性。在应用正交表时必须要用两性对所有的正交表进行检查、验证。
三、正交试验设计法的基本应用程序正交试验设计法有两大类型，即国际标准型（田口型）和中国型。这里主要介绍中国型正交试验设计的应用。――明确试验目的，确定考核指标。――挑因素、选位级、确定因素位级表。――选择适宜的正交表。注：中国型正交试验设计法根据因素位级的数量，直接选用正交表，因素可以填满直列，也可以不填满直列。田口型正交试验设计法还需要考虑因素之间的交互作用，进行表头设计，同时因素不能填满直列，最少要空出一个直列以便进行方差计算。
――因素位级上正交表，确定试验方案，并按试验方案进行试验。――试验结果分析（析因分析）注：中国型正交试验法对试验结果采用极差分析法进行分析。田口型正交试验设计法采用方差分析法进行分析。
极差分析法的应用步骤： ①看一看，可靠又方便：直接从诸试验方案的试验结果中找出最好的试验结果。 ②算一算，有效又简单：ⅰ）计算各因素、各位级的贡献系数K，注：贡献系数为每位级参加试验各次考核结果的累加值。ⅱ）计算各因素贡献系数的极差R。注：极差为该因素各位级贡献系数中的最大值与最小值之差。ⅲ）将诸因素按极差的大小，由大向小依次排列。注：极差大小反映该因素的重要度。ⅳ）根据各因素各位级贡献系数值确定好位级，展望好的试验条件。注：好位级的选择：a) 望大值质量特性，贡献系数大好；b) 望小值质量特性，贡献系数小好；c) 望目值质量特性，贡献系数的平均值接近目标值好。――进行调优试验，必要时反复调优，逼近最估试验方案。调优试验时，选择因素的原则：①重要因素有苗头处加密；②次要因素按技术、经济两方面综合确定；③有疑问的因素重复考虑；④意外发现补充考虑；⑤第一轮试验结果若与期望目标相差太远或试验结果不理想，是由于因素位级选择不当，应重新考虑选择因素位级。――确定最优方案并进行生产验证；――标准化。
四、 复 合 因 素 有时候，需要考察的因素比较多，但因试验次数受到限制，正交表的列数不够用，这时，可将若干种因素合并成为一种因素进行考察。表3 因素位级表因素 A＋B＋C A：B：C 熔化带直径 炉缸直径(mm) 仪器和班次位级1 100 1：3：2 φ800 φ540 甲 早位级2 200 1：1：1 φ770 φ510 乙 中位级3 150 2：1：2 φ820 φ570 丙 晚
五、活 动 位 级 的 应 用 有的试验，根据过去的经验与认识，安排方案时已经知道在某些因素之间有一定程度的依赖关系。一种因素用量的选取，需随另外因素的用量而定。这时，可采用活动位级的方法。
六、拟 位 级 和 后 备 位 级 正交表是一种整齐规则的表。它的列数、位级数与试验次数之间都保持一定关系。在决定好要考察的因素以后，对任意多个位级并不都有正好合用的表。对于连续变化的因素，位级的个数可以根据需要而适当选定时，问题容易解决。对于分散对象的因素，像四种催化剂、两台机器、五种原料等，位级的个数自然形成，不便于随意改变。遇到这种情形，有时候找不到试验次数少的正交表。对于这类因素，下面讨论一下怎样调整位级的个数，选出合用的表。例如，在一项化学反应中，考察设备种类、催化剂品种、原料品种和反应时间共四种因素。设备分两套，催化剂有四个品种，原料和时间都分三个位级。假如位级个数一成不变，则需用到L36，嫌次数太多。这时可调整一下前面两种因素的位级数目，制订因素位级表如表4。表4 因素位级表因素 设备 催化剂品种 原料品种 反应时间位级1位级2位级3 甲乙（甲） 卯寅子 长春武汉广州 30min40min20min
四种因素，都当作三个位级，可以套用L9(34)。拟位级：设备只有甲、乙两个位级，现在要扩充成三个位级。由于猜想设备甲可能比较好，愿意多做些试验。除了把设备甲对应于位级号码“1”以外，还把它再次对应于剩下的位级号码“3”。作为位级3的设备甲，称作拟位级。这样一来，用设备乙做三次试验，而用设备甲做六次试验。计算时，还是分别求位级1，3的各三次结果之和，看看Ⅰ，Ⅲ的差别怎样。如果Ⅰ，Ⅲ差别不大，则说明设备甲的效果比较稳定和可靠；反之，如果差别大，则说明设备甲同其他因素之位级的配合方式会起额外的作用，现象比较复杂。下批试验中，可对较好的设备继续试验。后备位级：催化剂有子、丑、寅、卯四个品种。为了首批试验的次数不至于太多，要缩减成三个位级。把估计效果可能好的品种卯、寅、子，分别对应于位级1，2，3，先做试验，而让效果估计比较差的品种丑，在首批中暂不试验，等着看出其他催化剂同另外因素的配合情况后，放在第二批补充试验。这样的品种丑，叫做后备位级。通过这种增加或减少位级的措施，后面附的常用正交表通常是够用的。超过36次的正交表可查其他资料。七、试 验 结 果 的 综 合 评 分 法 在多指标正交试验设计中，作完试验得出每号试验的各个指标结果后，依据一定的评分标准，得到各号试验的综合评分，以综合评分值作为单指标进行分析，简化分析过程，这种方法称为综合评分法。综合评分法的关键在于评分。评分既要反映各项指标的要求，又要反映出指标的重要程度。综合评分法可以分为次序评分法和公平评分法。1．次序评分法如果试验后得到的各项指标对整个试验是同等重要的，则可按指标的数值及相邻次序的差异程度，按一定的规则给各号试验评分。评分采用100，10，5分均可。表5是对精矿粉进行造球配方试验因素位级表。考核指标有抗压强度、落下强度、裂纹度三项要求。表5－30为正交表L9(34)和试验结果。表5为综合评分表。之后的步骤与前叙述相同，通过级差分析法展望的好条件为B3A3C1D1。表5 因素位级表因素 A水分 B粒度 C碱度 D膨润土位级1 9 30 1.2 1.0位级2 10 60 1.4 1.5位级3 8 80 1.6 2.0表6 L9(34)试验计划及试验结果分析表 因素试验号 A水分 B粒度 C碱度 D膨润土 拉压强度 落下强度 裂纹度 综合评分1 1(9) 1(30) 1(1.2) 1(1.0) 11.3 1.0 2 652 1 2(60) 2(1.4) 2(1.5) 4.4 3.5 3 503 1 3(80) 3(1.6) 3(2.0) 10.8 4.5 3 604 2(10) 1 2 3 7.0 1.0 2 555 2 2 3 1 7.8 1.5 1 656 2 3 1 2 23.6 15.0 0 1007 3(8) 1 3 2 9.0 1.0 2 608 3 2 1 3 8.0 4.5 1 709 3 3 2 1 13.2 20.0 0 95K1 175 180 235 225 ∑=620K2 220 185 200 210 K3 225 225 185 185 R 50 75 50 40
表7 综合评分表排顺序 评分（100分制）6号试验 100分 9号试验 95分 8号试验 70分 （因指标差距较大）1号和5号试验 65分 （因指标各有所长）3号和7号试验 60分 4号试验 55分 2号试验 50分
2．公平评分法根据多指标试验的目的和要求，利用一定的公式进行综合评分的方法称为公平评分法。表8 是五吨冷风冲天炉为提高铁水质量、降低生产成本的正交试验设计因素位级表。考核指标为：铁水湿度要高于1400℃，熔化速度要大于5t/h，总焦铁比要尽量高。这是根据专业知识确定的因素位级表。
表8 因素位级表因素 熔化带直径＊炉缸直径 一排风口尺寸＊二排风口尺寸 风压 批焦铁比1:x位级1 φ760＊φ620 (φ406) 130 13.5位级2 φ740＊φ550 (φ306) 160 14.5位级3 φ720＊φ650 (φ20[i]6) 150 12.5
采用L9(34)正交表安排试验，试验结果见表9。
表9 L9(34)试验计划及结果分析表 因素试验号 A B C D 铁水温度Ti 熔化速度Vi 总焦铁比Fi 综合评分1 1 1 1 1 1480 5.3 11.7 22 1 2 2 2 1399 5.2 13.2 73 1 3 3 3 1409 5.6 12.3 64 2 1 2 3 1409 5.2 11.9 65 2 2 3 1 1405 4.9 12.5 96 2 3 1 2 1412 5.1 13.0 217 3 1 3 2 1415 5.4 13.3 248 3 2 1 3 1413 5.3 12.2 129 3 3 2 1 1419 5.1 13.5 33K1 15 32 35 44 ［因素、位级、名称、数值略］∑＝120K2 36 28 46 52 K3 69 60 39 24 R 54 32 11 28
根据生产实践和专业知识，确定评分标准为：铁水温度Ti以1400℃为基准，每增高1℃加1分，每降低1℃减1分；熔化速度Vi以5t/h为基准，每增（或减）0.1t/h都减1分；总焦铁比Fi以1:12为基准，每高0.1加1分，每低0.1减1分。综合评分数Mi可用下面的公式计算。Mi＝（Ti－1400)－10|Vi－5|＋10(Fi－12)式中的i=1，2，．．．，9。由此，可计算出每号试验的综合评分。例如：M1＝(1408－1400)－10×|5.3－5|＋10(11.7－12)＝2 M2＝(1419－1400)－10×|5.1－5|＋10(13.5－12)＝33．．．．．．其他步骤与前叙述相同，展望的好条件为：A3B3D2C2
八、 正 交 表 的 选 择 正交表的选择主要考虑以下几个方面：①考虑因素的个数；②一批允许作试验的次数；③有无重点考察的因素。实际上选择正交表时也和考虑因素的位级个数有关，也就是说，位级数的确定与正交表的选择这两个问题是相互牵连的，经常是放在一起考虑。上一节所举的各方面的实例已经说明了这一问题。表10 归纳了正交表选择时应考虑的几个方面。正交表的选择虽然比较灵活，并且常用的正交表也有几十个（本书给出了若干常用的正交表供读者应用选择）。但是，某一项试验该采用哪一张正交表，还需要考虑表10中给出的几方面的问题。
表10 选择正交表应考虑的问题因素个数 有重点因素 无重点因素 一批要求少做试验 一批允许多做试验 一批要求少做试验 一批允许多做试验3个 L8(41×24) L18(61×36) L4(23) L9(34)或L16(45)4个 L8(41×24) L18(61×36) L9(34) L9(34)或L16(45)5个 L8(41×24) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) L16(45)6个 L18(61×36) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) 或 L18(61×36) L16(44×23)7 L18(61×36) 或 L18(61×36) L16(44×23) L8(27) 或 L18(61×36) L16(44×23)
九、有交互作用的正交试验设计在多因素试验过程中，试验结果实际上是多个因素的综合作用所造成的，而且有时还会发生两个因素之间的交互作用，即一个因素与另一个因素之间有相互影响的关系。这种情况下在正交试验过程中就必须考虑到交互作用的影响。
十、 常 用 正 交 表 1． 中国科学院系统科学研究所推荐的正交表（1） L4(23) 列号试验号 1 2 31 1 1 12 2 1 23 1 2 24 2 2 1
（2） L8(27) 列号试验号 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 2 2 1 22 2 1 2 2 1 1 13 1 2 2 2 2 2 14 2 2 1 2 1 2 25 1 1 2 1 1 2 26 2 1 1 1 2 2 17 1 2 1 1 1 1 18 2 2 2 1 2 1 2
(3) L16(215)列号试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 22 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 13 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 14 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 25 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 26 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 17 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 18 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 29 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 210 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 111 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 112 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 213 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 214 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 115 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 116 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
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