實驗計劃法
:lol::lol::lol:Design of Experiments

本章所要探討的是：面對一個設計問題，應該如何安排實驗，以獲得有用的資訊，來決定設計參數？譬如第一章所介紹的磁磚製程設計問題，為了決定設計參數，首先需要進行一系列的實驗來了解圖1.3中八個設計參數（控制因子）的變動對磁磚厚度的影響。實驗如何安排？如何經由資料分析獲得有用的資訊？
本章先對實驗計劃法做一簡介（第一節），並扼要地介紹ASI（參考資料 1）所出版的直交表（第二節），再以兩個實例（第三、四節）來加強說明，目標是使學生能很快的學會應用這些直交表。
與實驗計劃法相關的更進一步的課題，諸如因子的交互作用（interaction）、因子效應之混淆（confounding）、及實驗計劃的解析度（resolution），只在第一節及第二節點到為止，細節則留待第六章來介紹。當需要活用直交表、修改直交表、或自己設計直交表時，上述這些課題便顯得很重要了。此外，與實驗計劃法關係密切、牽涉到較多統計學觀念、常在較嚴謹的資料分析中被應用上的「變異分析」（analysis of variance）則延遲至第七章再介紹。

第2.1節 實驗計劃法介紹
Introduction to the Design of Experiments

以實驗的方法來決定設計參數，我們已知的實驗安排至少有下列四種方法：（1）試誤法（trial-and-error），（2）「一次一因子」實驗法（one-factor-at-a-time experiments），（3）「全因子」實驗法（full-factorial experiments），（4）田口式直交表（Taguchi’s orthogonal arrays）實驗法。以下分別舉例說明之。
2.1.1 試誤法 此法是每個人一生中無意識中常常在應用的方法：憑個人的經驗或直覺，選擇一組設計參數，直接嘗試；如果結果不可以接受，則嘗試另一組設計參數；如果其結果可以接受，則這組設計參數就被採用——無需任何資料分析。試誤法不是一種有系統性的方法，太過依賴個人的經驗，有時候很有效率（當個人經驗豐富或運氣不錯的時候），但是大部份的時候浪費了很多人力、物力資源。縱使是可以獲得一個可以接受的設計值，但是試誤過程所累積的經驗常常是沒有系統的，這些經驗也很難傳承給其他人。
2.1.2 「一次一因子」實驗法 此法也是許多工程師常常在使用的方法：每一次實驗只變動一個因子，圖2.1為一含七個因子，每個因子有兩個變動水準的實驗計劃。第二次實驗和第一次實驗比較，只變動了A因子，其他因子不變；同樣地，第三次實驗和第二次實驗比較，只變動了B因子。假想這是一個塑膠射出成型機的製程設計，目標是選擇一組使某一塑膠射出成型品的翹曲量最小的製程參數，這些製程參數假設共有七個，分別以A、B、C、D、E、F、G表示，包括射出溫度、模具溫度、射出壓力、保壓壓力、保壓時間等，而我們所要量測的是翹曲量（mm）。假設每一組的實驗都有十個成型品，我們分別量測它們的翹曲量，圖2.2的最右行記錄了這十個量測值的平均值。

圖2.1 「一次一因子」實驗計劃例子
Exp A B C D E F G
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1 1 1
3 2 2 1 1 1 1 1
4 2 2 2 1 1 1 1
5 2 2 2 2 1 1 1
6 2 2 2 2 2 1 1
7 2 2 2 2 2 2 1
8 2 2 2 2 2 2 2


圖2.2 「一次一因子」實驗例子之數據及因子效應
Exp A B C D E F G y
1 1 1 1 1 1 1 1 1.2
2 2 1 1 1 1 1 1 1.5
3 2 2 1 1 1 1 1 2.0
4 2 2 2 1 1 1 1 1.1
5 2 2 2 2 1 1 1 1.8
6 2 2 2 2 2 1 1 2.2
7 2 2 2 2 2 2 1 1.6
8 2 2 2 2 2 2 2 1.7
Effect 0.3 0.5 -0.9 0.7 0.4 -0.6 0.1 　
為了決定一組最佳的製程參數，我們需要知道每一個製程參數的變動對翹曲量的影響。在圖2.2中，因為第一組實驗（翹曲量1.2mm）和第二組實驗（翹曲量1.5mm）唯一的製程差異只是A因子由水準一變動到水準二，因此兩翹曲量相減的量 0.3mm（1.5 – 1.2）可以認定是A因子由水準一變動到水準二對翹曲量的影響，或稱之為A的因子效應（factor effect），我們將此值記錄在圖2.2中A因子那一行的最下方。其它的因子效應亦依此程序計算，譬如F的因子效應計算如下：1.6 – 2.2 = -0.6 mm。
有了因子效應後，我們可以依下列程序來決定最佳的製程參數：因為我們希望翹曲量越小越好，所以如果某一個因子由水準一變動到水準二會使得翹曲量減少（亦即負的因子效應），則此因子應被設定在水準二；反之（正的因子效應），則此因子應被設定在水準一。依此原理，A、B、D、E、G應該設定在水準一，而C、F應該設定在水準二，換言之，最佳的製程參數組合應該是：

A1 B1 C2 D1 E1 F2 G1 （2.1）

「一次一因子」法其因子效應的計算有一個明顯的缺失：因子效應的值是在特定的條件下的計算值，譬如A因子的因子效應（0.3）是在其它因子（B至G）都在水準一時的計算值，任何人都很容易有下列疑問：「其它因子（B至G）如果不是都在水準一時，A的因子效應是不是還是0.3？」答案是：「可能不再是0.3了。」換句話說，A的因子效應是在某種「偏見」（bias，其它因子都是在水準一）下評估出來的。直交表（參考下一小節）的使用，主要目的即在消除這種「偏見」。
2.1.3 「全因子」實驗法 此實驗方法是考慮所有可能的因子排列組合，前例中有七個因子，每個因子有兩個變動水準，則共需要127（27）組實驗。此方法的缺點非常明顯：沒有效率，需要太多組實驗。但由於很多直交表的理論源自於此方法，故我們還是需要稍微深入了解此方法。現在舉一個例子：四個因子（A、B、C、D），每個因子有兩水準，共需16組實驗，如圖2.3所示。

圖2.3 「全因子」實驗計劃例子
Exp. A B C D
1 1 1 1 1
2 1 1 1 2
3 1 1 2 1
4 1 1 2 2
5 1 2 1 1
6 1 2 1 2
7 1 2 2 1
8 1 2 2 2
9 2 1 1 1
10 2 1 1 2
11 2 1 2 1
12 2 1 2 2
13 2 2 1 1
14 2 2 1 2
15 2 2 2 1
16 2 2 2 2
圖2.4 「全因子」實驗例子之數據及因子效應
Exp. A B C D y
1 1 1 1 1 1.1
2 1 1 1 2 1.3
3 1 1 2 1 1.0
4 1 1 2 2 1.8
5 1 2 1 1 2.0
6 1 2 1 2 2.1
7 1 2 2 1 1.5
8 1 2 2 2 1.1
9 2 1 1 1 2.3
10 2 1 1 2 2.2
11 2 1 2 1 1.6
12 2 1 2 2 1.7
13 2 2 1 1 1.8
14 2 2 1 2 2.0
15 2 2 2 1 1.5
16 2 2 2 2 1.3
Level 1 1.49 1.63 1.85 1.60 　
Level 2 1.80 1.66 1.44 1.69 　
Effect 0.31 0.04 -0.41 0.09 　

圖2.3的實驗計劃有下列兩個特性：（1）每一行都是自我平衡的（self-balanced），即每一行中各水準出現的頻率是相同的；譬如在A行中水準一與水準二出現的頻率是相同的，都是八次。（2）每兩行間都是互相平衡的（mutual-balanced），即在某一行中，出現某水準的所有實驗組，在另外一行中，出現各水準的頻率是相同的；譬如在A行中，出現水準一的實驗組（實驗組1至8），在B行中，出現水準一與水準二的頻率是相同的，都是四次。若上述兩個特性同時存在，則稱為直交（orthogonal）；有這兩個特性的實驗計劃表稱為直交表（orthogonal arrays）。注意，「全因子」之實驗計劃必然是直交的。使用直交表的主要優點是評估因子效應時將「偏見」（2.1.2節末尾）減至最低（事實上「全因子」直交表實驗可以將「偏見」完全排除），而獲得較可靠的統計資訊，次要的優點是簡化資料分析的工作（如以下說明的因子效應計算工作，更深入的探討請參照6.1節）等。
圖2.4的最右行記錄了實驗數據（假想此實驗數據代表塑膠射出品的翹曲量）。下一步可以計算因子效應。我們觀察到，A因子在前八組的實驗群都是安排在水準一而後八組的實驗群都是在水準二，其它B、C、D行中，前後實驗群中出現水準一與水準二的頻率是相同的（都是四次），所以我們將前八組實驗數據取平均並合理地認定此數值代表「A因子在水準一時的平均翹曲量」，或稱為「A因子在水準一時的反應（response）」，同理我們將後八組實驗數據取平均，此數值代表「A因子在水準二時的反應」，這兩個數值的差則代表「A因子由水準一變動到水準二對翹曲量的影響」，亦即A因子的效應，詳細計算式如下

（1.1 + 1.3 + 1.0 + 1.8 + 2.0 + 2.1 + 1.5 + 1.1）/ 8 = 1.49
（2.3 + 2.2 + 1.6 + 1.7 + 1.8 + 2.0 + 1.5 + 1.3）/ 8 = 1.80
1.80 – 1.49 = 0.31

此三數值被紀錄在圖2.4中，A行的最下面三列。依同樣的程序，我們可以計算其它因子在各水準的反應及因子效應，以C因子為例：
（1.1 + 1.3 + 2.0 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 1.8 + 2.0）/ 8 = 1.85
（1.0 + 1.8 + 1.5 + 1.1 + 1.6 + 1.7 + 1.5 + 1.3）/ 8 = 1.44
1.44 – 1.85 = -0.41

圖2.4中，最下面的三列我們稱之為因子反應表（response table），，我們常常將此「因子反應表」單獨列表，如圖2.5所示。以上的因子反應分析（factor response analysis）程序又稱為「平均值分析」（analysis of mean，ANOM）。

圖2.5 「全因子」實驗例子之因子反應表（與圖2.4同）
　 A B C D
Level 1 1.49 1.63 1.85 1.60
Level 2 1.80 1.66 1.44 1.69
Effect 0.31 0.04 -0.41 0.09

圖2.6 「全因子」實驗例子之因子反應圖


我們亦常常用一個「因子反應圖」將圖2.5的資訊以圖形的方式來表現，如圖2.6所示，它通常比用數字（圖2.5）更能有效率地傳達資訊，更能感受到因子效應之相對大小及方向（正負）。從圖2.6我們觀察到：因子A、C的效應比B、D大得多，而且A和C的效應方向是相反的。
依因子反應表（圖2.5）或因子反應圖（圖2.6）的資訊，A、B、D應該設定在水準一，而C應該設定在水準二，才能使翹曲量減至最小，亦即最佳製程參數組合應該是：

A1 B1 C2 D1 （2.2）

2.2式的製程參數組合剛好是圖2.4中的第三組實驗，它的翹曲量是所有16組實驗中最小的（只有1.0mm），此點可以驗證以上的程序是合理的。
事實上，在「全因子」實驗組中，因為實驗已經考慮到所有可能的排列組合，我們可以不需做因子反應分析（圖2.5或圖2.6），而直接從實驗組中挑出一組最佳設計。但是一般田口式直交表並非「全因子」的直交表，而所預測的最佳設計組合通常並不在實驗組中。
在本小節中，我們以一含四個因子，每個因子都是兩水準，的「全因子」實驗來說明。事實上，因子的總數及每個因子的水準數可以是任意的，但是最常用的因子水準數是二水準或三水準。
2.1.4 田口式直交表實驗法 附錄A轉載了ASI（參考資料1）所出版的直交表（參考資料2），這些直交表有些是田口玄一博士所設計的，有些是前人的研究成果（參考資料 7），在本書中我們統稱為「田口式直交表」，或簡稱「直交表」，來與「全因子直交表」區別。
田口式直交表的構想是以較少的實驗次數（相對「全因子」實驗而言）來獲得有用的統計資訊，雖然理論上會有精度上的損失（「偏見」通常還是不能完全排除），但對解決工程品質問題的目的而言，田口式直交表常常是足夠的。典型的一個直交表是以La(bc)來命名，它代表共有a組實驗、最多可以容納b個水準的因子c個，亦即代表一個a列c行的直交表；字母L是這直交表的原始名稱：Latin squares（參考資料 7）。有些直交表同時可以容納兩種水準的因子（譬如二水準及三水準的因子），此時以La(bc ×de)來表示，它代表共有a組實驗、最多可以容納b個水準的因子c個，及d個水準的因子e個。圖2.7是一個稱為L8(27)的直交表，它的直交性是很容易看得出來的。

圖2.7 L8（27）直交表
Exp A B C D E F G
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2
圖2.8 田口式直交表實驗例子之實驗計劃及實驗數據
Exp A B C D E F G y
1 1 1 1 1 1 1 1 1.2
2 1 1 1 2 2 2 2 1.8
3 1 2 2 1 1 2 2 2.0
4 1 2 2 2 2 1 1 2.2
5 2 1 2 1 2 1 2 1.5
6 2 1 2 2 1 2 1 1.7
7 2 2 1 1 2 2 1 1.3
8 2 2 1 2 1 1 2 2.1
Ave. 1.725

圖2.9 田口式直交表實驗例子之因子反應表及因子反應圖
　 A B C D E F G
Level 1 1.80 1.55 1.60 1.50 1.75 1.75 1.60
Level 2 1.65 1.90 1.85 1.95 1.70 1.70 1.85
Effect -0.15 0.35 0.25 0.45 -0.05 -0.05 0.25


再一次考慮塑膠成型品的翹曲量問題，假設有七個因子（A、B、C、D、E、F、G）需要考慮，我們剛好可以將這七個因子填滿七個行，如圖2.8所示，圖中的最右行也記錄了每組實驗的翹曲量及其總平均值（1.725 mm）。圖2.9為因子反應表及因子反應圖，圖中水平線代表總平均值（1.725 mm）。
根據因子反應表（圖2.8）或因子反應圖（圖2.9）的資訊，B、C、D、G應該設定在水準一，而A、E、F應該設定在水準二，亦即最佳製程參數組合應該是

A2 B1 C1 D1 E2 F2 G1 （2.3）

注意，這組製程參數組合並不在圖2.8中的八組實驗組中，這是正常的現象（我們在2.1.3小節中曾提到這點）。那麼，根據因子反應表或因子反應圖，可不可能來預測2.3式這一組最佳製程參數組合的翹曲量呢？答案是：在適當的假設下，這是可能的。
為了預測的目的，我們要做一個很關鍵的假設：假設每一個因子的效應是獨立的——任何兩個因子間互不影響，或者我們說任何兩個因子間沒有交互作用（interaction）——因此因子效應是可以疊加的（additive）。
2.1.5 交互作用及因子效應的可疊加性 我們舉一例子來簡單說明交互作用及因子效應的可疊加性（additivity）的觀念，我們在4.2節中會有更深入的探討。假設A可以抬起30 kg的重物，B可以抬起50 kg的重物，如果兩人合作可以一起抬起95 kg的重物，則我們說A和B之間有15 kg的交互作用：兩個人合作可以抬起的重量和個別的和不同。這個「舉重實驗」可以圖2.10的直交表實驗來表示，圖中水準一表示沒有出力的狀態，而水準二表示有出力的狀態。

圖2.10 舉重實驗數據
Exp A B y
1 1 1 0
2 1 2 50
3 2 1 30
4 2 2 95

圖2.11 舉重實驗中A和B的交互作用圖
　 B1 B2
A1 0 50
A2 30 95


為了更清楚的來說明交互作用的觀念，我們用圖表來表示A和B的交互作用關係，如圖2.11所示。圖2.11上部的表是從圖2.10直接轉換過來的，而下表是圖形的表示方式。從圖2.11可以看出，B的因子效應視A而定，當A沒有出力時（A1），B的因子效應是50 kg（由0增至50），當A有出力時（A2），B的因子效應是65 kg（由30增至95），二者相差了15 kg；同樣的，A的因子效應視B而定，當B沒有出力時（B1），A的因子效應是30 kg（由0增至30），當B有出力時（B2），A的因子效應是45 kg（由50增至95），二者亦相差了15 kg。若某一因子的效應依另一因子的設定水準而有所不同，我們說這兩個因子間存在著交互作用。一個很快的方法來判斷兩個因子間是否存在交互作用是繪製如圖2.11的交互作用圖，若兩直線平行則不存在交互作用，反之，若兩直線不平行則存在著交互作用；不平行的程度越大，代表交互作用越大。

圖2.12 舉重實驗中A和B無交互作用時的圖示
　 B1 B2
A1 0 50
A2 30 80


考慮另外一個情況：假設A可以抬起30 kg的重物，B可以抬起50 kg的重物，而兩人合作可以一起抬起80 kg的重物，則因為兩個人合作可以抬起的重量和個別的和相同，我們說A和B的因子效應是獨立的、沒有交互作用、可以疊加的。圖2.12表示A和B的交互作用關係，二直線是平行的，A和B之間沒有交互作用。
2.1.6 預測最佳設計下的品質特性 我們回到2.1.4小節的例子。現在，我們要預測在最佳製程下（2.3式）的翹曲量。在沒有交互作用的假設下，因子效應是可疊加的。我們打算以總平均翹曲量（1.725 mm）為出發點。由圖2.9觀察到，當A因子設定在水準二時，其翹曲量（1.65 mm）和總平均值（1.725 mm）相差了 -0.075 mm（注意，此值剛好是A的因子效應的一半，-0.15 mm/2）；我們說，A的效應是由平均1.725 mm降低了0.075 mm。同理B因子設定在水準一時，其效應是翹曲量由平均1.725 mm降至1.55 mm（降低了0.35mm/2）。依此在最佳製程參數組合（2.3式）下，翹曲量為（假設完全沒有交互作用）：



上式中，|EA| 代表A的因子效應的絕對值，其他亦同。上式只適用在因子都是二水準的情況，為了更廣泛的情況（譬如因子是三水準的情況），我們可以用另外一個更通用的式子來計算：


上式中A2代表因子反應表中（圖2.9）A因子設定在水準二時的平均值（1.65），其他亦同。上述的討論可以歸納出下列的預測公式：在ALA BLB CLC …的因子組合時，預測值為：

（2.4）

在最佳製程參數組合時（2.3式），預測的翹曲量是0.95 mm，要確認這個值的正確性唯一的方法是去做確認實驗（confirmation experiments），若實驗值和預測值夠接近，則我們可以認定假設是合理的——因子效應是可疊加的，因子之間的交互作用是可忽略的，甚至我們可以認為因子效應的估計大致上是可靠的。
在本例中我們「剛好」有七個因子去填滿直交表上的七個行，假如不能剛好填滿，譬如有5個因子，那應該怎麼辦呢？是不是可以隨意填其中五行，而留下兩行的空白行呢？這個問題的簡要回答是：如果隨意填其中五行，所計算的因子效應精度可能會較差（因子效應會「混淆」，參考6.2節），若要得到一個較佳的精度，必須依照一定的程序來選擇行號。這點會在下一節的實例子中再詳細說明。

第2.2節 直交表概觀
Overview of Orthogonal Arrays

附錄A收錄了十五個直交表（轉錄自參考資料2），我們可以將這些直交表依主要的水準數分成四類：（1）二水準的直交表：L4(23)、L8(27)、L12(211)、L16(215)、L32(231)。（2）三水準的直交表：L9(34)、L18(21×37)、L27(313)、 L36(211×312)、L36(23×313)、L54(21×325)。（3）四水準的直交表：L16(45)、L32(21×49)。（4）五水準的直交表：L25(56)、L50(21×511)。注意，當某一直交表可以同時容納兩種水準的因子時（譬如二水準及三水準的因子），我們將它歸類到容納較多因子的那一類，譬如將L18(21×37)歸類到三水準的直交表。有些直交表還附帶一個或一個以上的「點線圖」（linear graphs），這些「點線圖」的意義及功用將在2.2.2小節說明。除了直交表及點線圖以外，附錄A也列出兩個交互作用表（圖A.6及圖A.13），交互作用表的意義及功用將在2.2.1小節說明。在所有直交表中，L12(211)、L18(21×37)、L36(211×312)、及L54(21×325)是最被田口博士推薦使用的直交表，其原因將在2.2.3小節討論。
2.2.1 交互作用表 當有必要去計算兩個因子的交互作用效應時，交互作用表列出任何兩個因子（行）的交互作用相對的行號。譬如在L8(27)（圖2.13）直交表中，若因子A置於第一行，B置於第二行，則由圖A.6之交互作用表可查得，A和B的交互作用（寫成A×B）是在第三行。同理，若有第三個因子C置於第四行，則A×C是在第五行，而B×C是在第六行。至於第七行是什麼呢？圖A.6告訴我們第七行是第一行和第六行（或第二行和第五行）的交互作用，亦即A×B×C（三因子間的交互作用）。更詳細的程序及效應計算，我們會在2.3節的實例中說明。

圖2.13 因子及交互作用之配置例子
　 A B AxB C AxC BxC AxBxC
Exp. 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2

2.2.2 點線圖 圖A.6是「純」二水準直交表（即L4(23)、L8(27)、L16(215)、L32(231)）的交互作用表，而圖A.13是「純」三水準直交表（即L9(34)、L27(313)）的交互作用表。除了「純」二水準及「純」三水準的直交表外，其它的直交表沒有交互作用表可以參照，但是可以利用點線圖來獲得同樣的資訊。點線圖事實上是交互作用表的圖形表示方式。就2.2.1小節所描述的目的而言，使用交互作用表或點線圖都是一樣的，只是有些直交表沒有交互作用表可查，只好利用點線圖來獲得同樣的資訊。
點線圖還有一個更大的用途：因子配置。圖2.13中如果A、B、C分別配置在第1、2、3行會怎麼樣呢？答案是：因為C與A×B共用一行，第三行所計算得到的效應是C的因子效應與A×B的效應的總合，換句話說，C與A×B的效應「混淆」（confound）在一起了。為了較精確的計算因子效應，不要和任何交互作用混淆在一起，我們可以利用點線圖來配置因子。譬如圖A.2中有兩個L8(27)的點線圖，依據第一個點線圖我們可以先將因子配置在第1、2、4、7行（以避開交互作用相對的3、5、6行），若有更多的因子，再利用3、5、6行（此時效應的混淆將是無可避免）；依據圖A.2中的第二個點線圖我們也得到完全一樣的因子配置方式，但一般來說，依據不同的點線圖可能會得到不同的因子配置方式。在6.2節中，我們會再討論因子效應的「混淆」，及利用點線圖來建構一個「四級解析度」（resolution IV）的直交表實驗。
2.2.3 高度推薦的直交表 我們觀察一下L12(211)、L18(21×37)、L32(21×49)、L36(211×312)、及L54(21×325)等直交表的點線圖會疑惑：因子間的交互作用那裡去了？答案是：在這些直交表中，交互作用或多或少均勻地分散到各行了。這幾個直交表是田口博士的重要貢獻之一，他特別設計使它們擁有上述性質，讓我們使用這些直交表時，縱使所有行都排滿了因子（稱為飽和直交表實驗），因子效應與交互作用混淆的程度比其他飽和直交表實驗小。因為上述的原因，所以這幾個直交表是最受推薦的直交表，事實上L18(21×37)因為可容納八個因子，只需做18次實驗（很適切的實驗規模），它已成為很多大公司最常使用的直交表了（參考資料2）。至於L12(211) 直交表則常被利用來做二水準的實驗，譬如因子過濾實驗（screen experiments，過濾出重要因子）或干擾實驗（noise experiments，參考1.2節）。

第2.3節 實例：波霸奶茶冰涼度實驗
Case Study: Ice Water Experiments

假想你是賣波霸奶茶的老闆，你希望提供最好的服務以爭取更多的顧客。假設你的波霸奶茶近乎完美，唯一的問題是常常有顧客抱怨你的波霸奶茶不夠冰涼。你決定進行一次實驗來改善冰涼度，以使你的波霸奶茶達到真正完美的境界。經一夜的苦思後，你決定直接測量波霸奶茶的溫度作為品質特性，並決定出四個控制因子及其水準，如圖2.14所示，其中因子C（溫度量測位置）表示用吸管（吸到底部的冰水）或直接用嘴喝（喝到表面的冰水）的差異；了解這個因子的影響可以讓你決定是否供應吸管給顧客或讓顧客直接用嘴喝。

圖2.14 波霸奶茶冰涼度實驗的控制因子及水準表
因子符號 說明 水準一 水準二
A 冰塊種類 2個冰塊 碎冰塊
B 混合方式 未攪動 攪動10秒
C 溫度量測位置 底部 表面
D 杯子種類 紙杯 保麗龍杯

你選用了L8(27)（圖2.15），並依圖A.2的第一個點線圖的資訊，將因子A、B、C、D分別配置在第1、2、4、7行。由於還有第三、五、六行沒有利用，你決定順便評估因子間交互作用的大小，由圖A.2的點線圖可以知道，第三、五、六行相對於A×B、A×C、B×C。雖然沒能評估D與其它因子的交互作用，可是憑著經驗，你知道D與其它因子的交互作用通常很小甚至幾乎沒有。因子及交互作用配置後，如圖2.15所示。

圖2.15 波霸奶茶冰涼度實驗的實驗計劃及實驗數據
　 A B AxB C AxC BxC D 　
Exp. 1 2 3 4 5 6 7 Temp.
1 1 1 1 1 1 1 1 13.5
2 1 1 1 2 2 2 2 20.0
3 1 2 2 1 1 2 2 12.0
4 1 2 2 2 2 1 1 10.5
5 2 1 2 1 2 1 2 11.0
6 2 1 2 2 1 2 1 11.5
7 2 2 1 1 2 2 1 7.0
8 2 2 1 2 1 1 2 6.5

實驗所量得的溫度亦記錄在圖2.15，譬如在第二組實驗時，A是定在水準一（放2個冰塊），B也是定在水準一（未攪動），C是定在水準二（測量表面溫度），D也是定在水準二（使用保麗龍杯），經測量後溫度是20℃。注意，實驗時不必管A×B、A×C、B×C的設定水準，這些交互作用行的水準會自然符合的。
圖2.16是因子及交互作用反應表及反應圖，圖中水平線代表平均值（11.5℃）。你仔細研究圖2.16的反應圖後得到幾個心得：（1）A、B、C、D四個因子中，A及B的效應（都是 -5.00）比C或D（1.25及1.75）要大的多，事實上C或D的因子效應有可能在實驗誤差的範圍內；（2）A×B及A×C的效應都很小，幾乎可以忽略，如果B×C的效應也是很小的話，則A、B、C、D的效應可以視為獨立的，可以疊加的；（3）但是B與C之間有不能忽視的交互作用（2.25），這是很容易解釋的——底部和表面是否有很大的溫度差異，是依有無攪拌而定：有攪拌時兩者溫度差異不大，而沒有攪拌時溫度差異會較大。圖2.17、2.18、2.19分別是A×B、A×C、B×C的交互作用圖。

圖2.16 波霸奶茶冰涼度實驗的因子及交互作用反應圖
Level 1 14.000 14.000 11.750 10.875 10.875 10.375 10.625 Ave.
Level 2 9.000 9.000 11.250 12.125 12.125 12.625 12.375 11.500
Effect -5.000 -5.000 -0.500 1.250 1.250 2.250 1.750 　


根據圖2.16的反應圖及2.1節所描述的最佳化程序，你選擇了A設定在水準二、B在水準二。而C因為因子效應很小，故C的水準決定依據應該不在因子效應，而在與B之間的交互作用（這點等一下會再確認）。由圖2.19看出，當B被設定在水準二的時候，C應在水準二才有較低的溫度，依此，你選擇C設定在水準二。D的決定亦依據因子效應，故你選擇D設定在水準一。以下是你選擇的最佳組合：

A2 B2 C2 D1 （2.5）

圖2.17 波霸奶茶冰涼度實驗中A和B的交互作用圖


　 B1 B2
A1 16.75 11.25
A2 11.25 6.75


圖2.18 波霸奶茶冰涼度實驗中A和C的交互作用圖


　 C1 C2
A1 12.75 15.25
A2 9 9

圖2.19 波霸奶茶冰涼度實驗中B和C的交互作用圖


　 C1 C2
B1 12.25 15.75
B2 9.5 8.5


下一步是預測在此最佳組合下，溫度會是多少。2.4式在這時（考慮交互作用下）應寫成

（2.6）

2.6式中的最後三個中括號項表示交互作用的額外效應，譬如最後一項


代表2.5式中，B置於水準二、C置於水準二時的交互作用額外效應（extra effects，這數值剛好是圖2.16中B×C效應的一半）。將所有數值代入2.6式中，我們可以得到預測值

Predicted y
= 11.5 + (9 - 11.5) + (9 – 11.5) + (12.125– 11.5)
+ (10.625 – 11.5)
+ (6.75 – 11.5) – (9 – 11.5) – (9 – 11.5)
+ (9 – 11.5) – (9 – 11.5) – (12.125 – 11.5)
+ (8.5 – 11.5) – (9 – 11.5) – (12.125 – 11.5)
= 11.5 – 2.5 – 2.5 + 0.625 – 0.875 + 0.25 - 0.625 - 1.125
= 4.75 ℃

剛才我們提到， C的水準決定依據應該是在與B之間的交互作用，而非本身的因子效應。如果我們依據因子效應而選擇水準一（參考圖2.16中C的反應值），則2.5式應改為

A2 B2 C1 D1

而預測值應為



此值比2.6式預測的值高，故2.5式才是最佳的設計——C的水準決定依據應該是在與B之間的交互作用，而非本身的因子效應。
如果我們以2.5式的組合去做一次確認實驗，它的預測值（4.75 ℃）通常無法達到，原因是有些效應很小，甚至在實驗誤差範圍內，在統計學上沒有任何意義，我們卻將它們全部加在一起，以致於高估了總效應。本例中，合理的判斷是：2.6式中，C、D、A×B、A×C的效應與實驗誤差（你估計約1至2之間）比起來，毫無意義，故應忽略之。預測值應為



嚴格來說，哪些效應是「毫無意義」的，應忽略之，這是需要進一步的統計分析的。我們將在第四章介紹一個簡單的法則，至於嚴格的統計分析（含實驗誤差的估計及重要性測試），則延至第七章才介紹。
第2.4節 實例：塑膠射出成型品之融合強度
Case Study: Welding Line Strength of Injection-Molded Plastics

想像某一塑膠射出成型過程：在高溫下，融熔的塑料從模穴中兩個澆口（gates）進入模穴，面對面越來越接近，最後兩邊融膠結合為一，慢慢凝固，形成一個塑膠產品。融膠結合處稱為融合線，它往往是一個塑膠產品最脆弱的地方。本實驗的目的在找出一組製程參數，使得該塑膠產品有最佳的融合強度，除此之外，這組製程參數最好能確保穩定的品質，亦即產品的融合強度變異越小越好。
我們選擇以拉伸實驗所量取的抗拉強度做為品質特性。圖2.20列出四個製程參數（控制因子）及其水準配置，其中膠溫及射速是指融膠剛進入澆口的溫度及速度，射速是以射出機全速的百分比表示的。水準的決定係以初步設計值為第二水準再定出水準一及水準三。

圖2.20 塑膠融合強度實驗的控制因子及水準表
因子 說明 水準一 水準二 水準三
A 膠溫(melt temperature) 150℃ 170℃ 190℃
B 射速(injection speed) 50% 70% 90%
C 保壓壓力(packing pressure) 25 kg/cm2 50 kg/cm2 75 kg/cm2
D 模溫(mold temperature) 30℃ 40℃ 50℃
註：陰影部分為初始製程參數
圖2.21 塑膠融合強度實驗的實驗計劃及實驗數據
Exp. A B C D y1 y2 y3 y4 y5 Ave S
1 1 1 1 1 69.7 72.4 55.0 65.3 68.7 66.22 6.77
2 1 2 2 2 78.6 75.3 67.2 70.3 72.3 72.74 4.41
3 1 3 3 3 74.6 70.2 65.3 71.6 68.9 70.12 3.43
4 2 1 2 3 83.2 90.2 75.4 88.1 91.3 85.64 6.51
5 2 2 3 1 93.6 93.4 104.8 101.3 97.8 98.18 4.94
6 2 3 1 2 98.3 105.0 115.0 108.6 110.3 107.44 6.25
7 3 1 3 2 124.0 110.0 122.9 115.3 117.8 118.00 5.73
8 3 2 1 3 117.0 101.0 113.0 105.6 114.6 110.24 6.69
9 3 3 2 1 114.0 111.0 109.3 105.3 　 109.90 3.63
　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ave 93.16 5.37

我們選擇用L9(34)直交表，因為它剛好可以容納四個三水準的控制因子，如圖2.21所示。圖2.21也記錄了實驗數據，每一組實驗我們射出了五個成品，並以拉伸實驗來量取其抗拉強度（單位N），第九組實驗中因為有一個數據有異常現象（過大），我們認為可能是某些錯誤造成，而將這個數據捨棄。圖2.21最右兩行計算了每組實驗的平均值及標準偏差S，標準偏差（standard deviations）的定義如下：

（2.7）

其中n是數據個數，在此為5。標準偏差的定義在7.1.1小節會進一步討論，在附錄B（常態分佈）中也有詳細說明。
圖2.21最下一列計算了總平均值（grand average），及標準偏差的平均值。圖2.22是針對品質特性（平均抗拉強度，圖2.21右起第二行）的因子反應圖；圖2.23則是針對標準偏差（圖2.21最右一行）的因子反應圖。

圖2.22 塑膠融合強度實驗中品質特性的因子反應圖
　 A B C D
Lev. 1 69.69 89.95 94.63 91.43
Lev. 2 97.09 93.72 89.43 99.39
Lev. 3 112.71 95.82 95.43 88.67


圖2.23 塑膠融合強度實驗中標準偏差的因子反應圖
　 A B C D
Lev. 1 4.87 6.34 6.57 5.11
Lev. 2 5.90 5.35 4.85 5.46
Lev. 3 5.35 4.44 4.70 5.54

根據圖2.22的反應圖，下列的組合（圖2.22反應表中的陰影部份）有最大的品質特性值：

A3 B3 C3 D2 （2.8）

但是根據圖2.23的反應圖，下列的組合（圖2.23反應表中的陰影部份）將有最小的標準偏差：

A1 B3 C3 D1 （2.9）

對於B及C來講，2.8式及2.9式是一致的；但是對於A及D來講，我們面臨兩難，因為2.8式及2.9式是不一致的。我門將在第三章介紹「品質計量法」中，來討論如何合理地兼顧二者（最佳的品質特性及最小的標準偏差），此時，我們暫時決定採用2.8式的組合。
在「交互作用可以忽略」的假設下（亦即因子效應是可以疊加的），並且B及C的因子效應和實驗誤差（估計約6 N）比起來是無意義的，故將它們忽略，則我們預測在2.8式的組合下，抗拉強度是



而此時的標準偏差預測值是（忽略A及D的效應）



練 習 題

1. 解釋名詞
a. 直交表（orthogonal arrays）
b. 全因子直交表（full-factorial orthogonal arrays）
c. 田口式直交表（Taguchi’s orthogonal arrays）
d. 因子反應表（factors’ response table）
e. 因子反應圖（factors’ response graphs）
f. 因子效應（factors’ effects）
g. 平均值分析（analysis of mean，ANOM）
h. 交互作用（interactions）
i. 因子效應的疊加性（additivity of factor effects）
j. 點線圖（linear graphs）
k. 標準偏差（standard deviations）
2. 使用直交表實驗的優點何在（相對於非直交的實驗而言）？
3. 列舉5個最受推薦的直交表，並說明原因。
4. 假設我們有四個控制因子A、B、C、D分別配置在一個L8(27)直交表的1、2、3、4行（如圖2.24所示），請問5、6、7行分別可以利用來評估哪些二因子交互作用？

圖2.24 四個因子配置在L8(27)直交表
Exp A B C D 　 　 　
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 2 2
3 1 2 2 1 1 2 2
4 1 2 2 2 2 1 1
5 2 1 2 1 2 1 2
6 2 1 2 2 1 2 1
7 2 2 1 1 2 2 1
8 2 2 1 2 1 1 2

5. 圖2.25是2.3節所描述的波霸奶茶冰涼度實驗的數據（取代圖2.15的數據）。圖2.25中，每組實驗重複做了兩次，並分別量取兩個溫度。請對品質特性（溫度，單位℃）進行因子反應分析後調整控制因子，使其有最低的溫度，並預測此一最低溫度值。請亦繪出A、B、C因子間的二因子交互作用圖。

圖2.25 波霸奶茶冰涼度實驗數據
Exp. A B AxB C AxC BxC D Temp.
1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1 13.5 15.0
2 1 1 1 2 2 2 2 21.0 20.0
3 1 2 2 1 1 2 2 12.0 12.5
4 1 2 2 2 2 1 1 13.0 10.5
5 2 1 2 1 2 1 2 11.0 12.0
6 2 1 2 2 1 2 1 11.5 13.5
7 2 2 1 1 2 2 1 9.5 7.0
8 2 2 1 2 1 1 2 6.5 8.0

6. 圖2.26是2.4節所描述的塑膠射出成型品之融合強度實驗的數據（取代圖2.21的數據）。請對品質特性（融合強度，單位N）進行因子反應分析後調整控制因子，使其有最大的融合強度，並預測此一最大融合強度值。

圖2.26 塑膠射出成型品之融合強度實驗數據
Exp. A B C D y1 y2 y3
1 1 1 1 1 69.7 72.4 55.0
2 1 2 2 2 78.6 75.3 67.2
3 1 3 3 3 74.6 70.2 65.3
4 2 1 2 3 83.2 90.2 75.4
5 2 2 3 1 93.6 93.4 104.8
6 2 3 1 2 98.3 105.0 115.0
7 3 1 3 2 124.0 110.0 122.9
8 3 2 1 3 117.0 101.0 113.0
9 3 3 2 1 114.0 111.0 109.3

lz还有后记吗？？？