自变量之间呈函数关系回归方程的难点（1）

多元回归分析中篇幅最多的是线性回归，因为一般情况，非线性回归模型可用多项式线性转换，用最小二乘法求解待定回归系数。但如自变量之间不独立，即有相关关系时一般回归分析方法不合适。
比如二元回归方程，如考虑可能有二次幂变量，加上自变量之间也存在二次函数关系，有8个参数需待定。
最简单的二元一次回归方程，如自变量X和Z之间有函数关系的标准表达式应如下：
Y=a+f（Z）X+β2Z，（X是自变量，Z为解释变量。）此式原线性回归式中X的回归系数β1被Z的函数取代。f（Z）如是线性函数，展开化简后呈常见的X、Z和XZ三项变量。用f（Z）取代β1回归系数的表达式为了说明，XZ乘积项不能单从乘积符号上理解为《积事件》。在DOE中常有想从XZ交互作用中分离出X或Z的贡献，或“分散”交互作用的想法是徒劳的，自变量之间函数关系，比自变量与因变量响应呈非线性函数复杂得多。
Z变动影响因变量，同时Z变动引起X项系数的变动，间接影响因变量，即呈双重作用。β1如是常数，则是多元线性回归方程，可用最小二乘法求解。f（Z）如是线性函数，回归系数成为变量：当z变动时，X变量的斜率也会变动。在因子趋势图上会呈现X和Z的折线会相交，则有一级交互作用。此时直接用线性回归的最小二乘法不适，最好用偏最小二乘法求解。f（Z）如是非线性函数，传统偏最小二乘法也不适，需用《改进的非线性偏最小二乘法》。有文献观点：有时交互作用不显著，而线性回归又无法拟合，可能自变量之间呈非线性函数。
（参考文献：《多元回归中的交互作用》，《改进的高维非线性偏最小二乘回归模型及应用》）