参数估计三-基础理论与实务-质量工程师

　　（3）正态标准差 的无偏估计也有两个，一个是对样本极差 进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体是：　　其中 与 是只与样本量n有关的常数，其部分值列于表1.4-1，更详细的表参见第四章的表4.2-2。　　表1.4-1 修偏系数 与 的数值表　　当n=2时，上述两个无偏估计相同；当n≥3时，它们不同，但总有：　　[例1.4-6] 把钢材弯曲成钢夹，其间隙大小是一个质量特性，现随机从生产线上取5只钢夹，测其间隙，得数据如下：　　0.75 , 0.70 , 0.65 , 0.70 , 0.65　　已知钢夹间隙X服从正态分布 ，要对 和 做出估计。　　用样本均值 和样本方差 分别做出 与 的估计：　　作为标准差 的估计选用 ，其值为：　　也可选用：　　在本例中两者相差不大。
　　二、区间估计　　（一） 区间估计的概念
　　点估计仅仅给出参数一个具体的估计值，但是没有给出估计的精度，而区间估计是用一个区间来对未知参数进行估计，区间估计体现了估计的精度。
　　设 是总体的一个待估参数，其一切可能取值组成的参数空间为 ，记从总体中获得样本量为n的样本为 ，对给定的 ，确定两个统计量：
　　若对任意 ∈ 有P（ ≤ ≤ ）≥l- ，则称随机区间[ ， ]是 的置信水平为l- 的置信区间，简称[ ， ]是 的l- 的置信区间， 与 分别称为 的l- 的置信下限与置信上限。
　　置信区间的含义是：所构造的随机区间覆盖（盖住）未知参数的概率为。由于这个随机区间随样本观测值的不同而不同，它有时覆盖了参数，有时没有覆盖，但是用这种方法做区间估计时，100次中大约有100（）个区间能覆盖未知参数。图1.4-1中每一条竖线表示由一个样本量为4的样本按给定的与求得的一个区间。重复抽取100个样本，就得到100个这样的区间，在（）中，100个区间有51个包含（覆盖了）参数真值=50000，这对50%的置信区间来说是一个合理的偏离；在（）中，100个区间有90个包含参数真值=50000，这与90%的置信区间一致。
　　如果P（ < ）=P（ > ）= /2，则称这种置信区间为等尾置信区间。　　下面着重讨论正态总体参数的置信区间及比例p的置信区间，它们都是等尾置信区间。　　（二）正态总体参数的置信区间　　设总体分布为 ，从中抽取的样本记为 ，样本均值为 ，样本方差为 ,样本标准差为s。　　（1）总体均值 的置信区间的求法： 的估计一般用样本均值 ，从 的分布来构造置信区间。　　当总体标准差 已知时，利用正态分布可得 的l- 置信区间为：　　今后也记为 ，其中 是标准正态分布的 分位数。　　当总体标准差 未知时， 用其估计s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信区间为：　　其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位数。　　（2）总体方差 与标准差 的置信区间的求法： 的估计常用样本方差 ，因此从 的分布来构造置信区间。　　利用 （n-1）分布可以得到 的l- 置信区间为：　　将上式两边开平方，可得 的l- 置信区间为：　　以上讨论总结如下表1.4-2中，可供选用。　　[例1.4-7] 某溶液中的甲醛浓度服从正态分布，从中抽取一个样本量为4的样本，求得 ，样本标准差为 ，分别求正态均值 及标准差 的95%的置信区间。
　　解：先求正态均值 的置信区间，由于 未知，故采用 分布来求。　　， ，又 ， ，查附表1-4得 ，从而正态均值 的95%的置信区间为：　　再求 的置信区间。由于 ， ，查附表1-5得： ， ，则正态标准差 的95%的置信区间为：　　[例1.4-8]设一个物体的重量未知，为估计其重量，用天平去称，所得称重（测量值）与实际重量间是有误差的，因此所得的称重是一个随机变量，通常服从正态分布。如果已知称量的误差的标准差为0.1克（根据天平的精度给出），为使 的95%的置信区间的长度不超过0.1，那么至少应该称多少次？
　　解：这是估计样本量的问题。在 已知时， 的95%的置信区间为：　　其中 ，置信区间的长度是：　　为使它不超过0.1，可解不等式 ，得 ，即至少应称16次。