寿命数据分析 (威布尔分析)

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在寿命数据分析中 (也称为 "威布尔分析")，从业者通过从有代表性的样本中选择一个“合适的”寿命统计分布，从而预测在母体中所有产品的寿命情况。带有参数的分布函数能被用来估计产品重要的寿命特征量，例如：在某一特定时刻产品的可靠度或者不可靠度， 产品的平均寿命和失效率。寿命数据分析需要从业者做：

为产品收集寿命数据。
选择一个寿命分布，建立产品寿命模型。
估计参数。
画出概率图和估计寿命特征量，如产品的可靠度和平均寿命。
此文阐述了在寿命数据分析(威布尔分析)中基础理论的概况和研究该主题的某些建议。瑞蓝公司(ReliaSoft)的 Weibull++ 软件 提供了一系列完整的寿命数据分析工具。

寿命数据
术语 寿命数据 涉及到产品寿命的度量单位。产品寿命能被测量为小时，英里，周期或者其他应用于某个特殊产品的米制单位。既然时间是最常用的测量单位， 寿命数据点也常被称作"失效时间(times-to-failure)" 并且在该向导中的其余部分，产品寿命都将以时间来描述。有不同的寿命数据类型，并且每种数据类型就提供不同的产品寿命信息，寿命数据分析的方法也将随着数据类型的不同而不同。的完全数据，知道准确失效时间(比如， 某产品在100小时的时刻失效了)。截尾或右截尾数据，产品成功地工作了一段已知的时间并且继续 (或者本应该继续，但截止了) 工作一段不知道准确地时间 (如， 某产品在工作了100小时后仍继续工作)。 t区间和左截尾数据，不知道准确的失效时间，但是知道某个时间范围内失效 。例如，某产品在100小时和150小时之间失效 (区间截尾)或者在0到100小时之间失效(左截尾)。

寿命分布
统计分布已经被统计学家、数学家和工程师明确的表示为数学模型或者表现为某种特定的行为。概率密度函数 (pdf) 是一个能描述寿命分布的数学函数。如图所示，x-坐标代表时间。



以下公式给出了3-参数威布尔分布的概率密度函数pdf表达式。某些分布，如威布尔分布和对数正态分布更好地趋向表现寿命数据，经常被称为寿命分布。实际上，寿命数据分析有时被称为"威布尔分析" ，因为威布尔分布(由教授Wallodi Weibull定义的)在分析寿命数据时，是比较受欢迎的一种分布。 威布尔分布能被应用于很多形式 (包括 1-参数、2-参数、3-参数 或者混合威布尔) 和其他常用的寿命分布包括指数分布、对数正态分布和正态分布。 分析者选用寿命分布时，根据过去的经验和拟合良好性，使分布最大程度地适合当前数据集。



参数估计
在合适的寿命分布模型中， 分析者估计寿命分布的参数，使分布函数最适合寿命数据。 参数能控制pdf函数的范围，形状和位置。例如， 在3-参数威布尔分布中(如上显示)，范围参数， (eta)， 定义了分布的大小范围。形状参数， (beta)，定义了分布的形状和位置参数， (gamma)，定义了分布的初始时间位置。

一些估计已知寿命分布参数的方法已经设计出来，可行的参数估计方法包括：概率图估计，在x轴的秩回归(RRX), 在y轴的秩回归(RRY) 和极大似然估计(MLE)。合适分析方法的选择是根据数据集的变化而变化 ，并且在某些已知寿命分布的情况下。

计算出的结果和绘图
一旦你在已知寿命分布情况下计算出了参数，你能从分析中得到很多 图和计算结果，包括：

给定时间的可靠度: 在一个特定的时间点，一个产品能够成功工作的概率。例如，某产品在3年后成功运行的概率有88％ 机会。
给定时间的失效概率: 在一个特定的时间点，一个产品发生故障的概率。失效概率也称为 "不可靠度" ，并且它和可靠度相对立的。例如， 某产品在运行3年后发生故障的概率为12% (成功的概率为88％)。
平均寿命:产品在失效前平均能工作多少时间。 通常为米制单位，如平均寿终时间(MTTF) 或 (MTBF)。
失效率: 产品在某时刻后单位时间内发生失效的概率。
保证时间 :当可靠度等同于一个目标值时，所估计的时间。 例如， 当可靠度为90％时，估计时间为4年。
B(X) 寿命:当失效概率为某个特殊值 (X%)，所估计的时间。例如，如果在4年时间内预期有10％的产品失效，那么B(10) 寿命就是4年。 (注意这等同于，当可靠度为90％时的保证时间为4年。
概率图: 一个关于失效概率对时间的坐标图。 (注意概率图是根据线性化某个特定分布而构造的。因此，不同分布的概率图是各不相同的。例如，一个指数分布的概率图是不同于一个正态分布的概率图。)
可靠度对时间的图:一个关于可靠度对时间的坐标图。
Pdf 图: 概率密度函数(pdf)图。
失效率对时间的图: 一个关于失效率对时间的坐标图。
Contour 图:一个表示可能解决似然率方程的图。这需要2种不同数据集作比较。
置信区间
因为寿命数据分析的估计参数的结果是基于一个产品样本的观测值，由于有限样本的大小，导致了结果的不确定性。置信区间被用来量化这个由有限样本带来不确定性，通过包含界限值的区间表现置信水平。如论如何，在一定的置信度下，界限值是不唯一的。

置信区间能被表示为双侧或者单侧置信区间。 用双侧界限值表示在一定的置信度下这个区间的大小。用单侧界限值表示在一定的置信度下的置信上限或置信下限。根据应用情况，来选择单侧或者双侧区间。例如，分析者在可靠度方面用单侧置信下限，在失效概率方面用单侧置信上限估计，并且用双侧置信区间来估计分布参数。(注意单侧和双侧区间是有联系的。例如， 在置信水平 90％下的双侧区间的置信下限等同于在置信水平 95％下的单侧区间置信下限 ，在置信水平 90％下的双侧区间的置信上限等同于在置信水平 95％下的单侧区间置信上限 。)