不确定计算
请问各位在搞计量的朋友，请问你们公司内校仪器在校准报告最后有没有给出《不确定》？不确定度究竟怎样算？可以指点一下吗？谢谢！
关于不确定度的测量与确定在计量法中详细的说明：
2 测量不确定度
2.1测量不确定度的表达与评定的重要意义
2.1.1测量不确定度是测量结果质量和水平的科学表达
为了认识事物，了解自然，人们进行了大量的测量工作。然而众所周知，由于认识的局限性、能力的不足，任何测量都不可能绝对准确，都必然有误差。由于真值是一理想的概念，不可能准确知道，因此，误差也不可能准确知道。测量结果准不准？测量结果的质量如何？水平如何？有多大的可靠性和置信度，必须有一个公认的科学的表达，这是测量不确定度。
测量不确定度是指测量结果不能肯定的程度。显而易见，不确定度愈小，测量结果的质量愈高，其使用价值也愈高；反之，不确定度愈大，测量结果的质量愈低，其使用价值也愈低。因此在进行测量时，在说明和使用测量结果时，必须考虑测量不确定度。严格来说，不知道不确定度的测量结果，无法相互比较，不具备使用价值，是没有意义的。
2.1.2 正确表达和评定测量不确度是国际通行的新要求
随着全球市场经济的发展，质量意识的增强，国际交往的增多，对检测质量提出了愈来愈高的要求。实理国与国之间检测结果的互认，形成全球检测大市场已是大势所趋。为了保证检测质量，许多国家和国际组织在其有关标准和技术规范文件中，都不同程度地从各个角度对检测的不确定度提出了要求。
在ISO 9000族《质量管理和质量保证》国际标准中，涉及“检验、测量和试验设备的控制”的条款中都明确指出，“检验、测量和试验设备使用时，应确保测量不确定度已知”，“并符合所要求的测量能力“。
在ISO 10012-1：1992《测量设备的质量保证要求第Ⅰ部分 测量设备的计量确认体系》中将“测量不确定度”和“不确定度的累计影响”作为计量确认体系的重要要素。
在ISO 10012-2：1993《测量设备的质量保证要求第Ⅱ部分 测量过程控制》中把砍保测量不确定度作为测量过程控制的重要内容。
在ISO/IEC导则25《校准与测试实验室能力的通用要求》中，也明确指出必要时实验室的每份证书或报告，必须包含有关评定校准或测试结果不确定度的说明等。
由此可见，正确表达和评定测量不确定度是当前国际上开展产品质量认证、体系认证和实验室认可以及国际互认协议中普遍提出的新要求。
2.2 测量不确定度的概念
不确定度一词有两种概念。一种是定性的概念，就广义而言，测量不确定度意为测量结果正确性的可疑程度；另一种是定量的概念，用于定量表示测量结果的分散性。不带形容词的不确定度用于定性，即一般概念。当需要明确某一测量结果的不确定度时，要采用适当的形容词。
1993年七个国际组织发布的《国际通用计量学基本术语》和我国的JJF1001－1998《通用计量术语及定义》都对测量不确定度作了可操作性的定义：
测量不确定度是“与测量结果相联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。”
该定义有两层含义。
含义一：测量不确定度是一个参数，它与测量结果相联系（但非计量学方面的“相关”），又独立于测量结果（与测量结果不存在固定的函数关系）。同时，定义中的“相联系”还表明，就最终测量结果的表达而言，测量不确定度这一参数，是最终测量结果表达的一个组成部分。因此没有给了测量不确定度的测量结果是不完整的，严格来说是没有意义的。
含义二：测量不确定度是表明被测量之值分散性的一个参数，它反映被测量结果之间的不一致程度。这一参数可以是标准偏差（或其倍数）或置信区间的半宽度。
2.3 测量不确定度的来源
测量不确定度的存在说明人们对被测量及其测量缺乏确切的了解。测量中可能导致不确定的来源一般有：
（1） 被测量的定义的不完整；
（2） 复向被测量的测量方法不理想；
（3） 取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；
（4） 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；
（5） 对模拟式仪器的读数存在人为偏移；
（6） 测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阀、分辨力、死区及稳定性等）的局限性；
（7） 测量标准或参考物质的不确定度；
（8） 引用的数据或其他参量的不确定度；
（9） 测量方法和测量程序中的近似和假设；
（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化。
上述不确定度的来源可能相关，例如（2）、（3）、（10）可能与前面各项有关。
对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量结果的误差。
2.4 测量不确定度的分类
如上所述，测量不确定度来源于若干因素，这些因素对测量结果形成若干不确定度分量。
长期以来，人们把测量误差分为随机误差和系统误差的方法用于测量不确定度的分类，
即将测量不确定度分为随机不确定度和系统不确定度。然而这种分类方法不科学也不严密，极易导致误解和混淆。因为“系统”在变化时，就可以成为“随机”，“随机”在特殊情况下也可能成为“系统”。因此，在七个国际组织认可通过的《测量不确定度表示指南》中，放弃了“随机不确定度”和“系统不确定度”的提法，并明确表示不予使用。
根据《测量不确定度表示指南》，测量不确定度按其估算方法分为两类，即A类和B类。一种方法，估算出的不确定度有时候称为A类不确定度。所谓不确定度的B类估算是指通过不同于对观察列进行统计分析，对标准不确定度进行估算的一种方法。估算出的不确定度有时候称为B类不确定度。
不确定度的A类估算由观测列统计结果的统计分布来估计，其统计分布来自观测列的数据处理，具有客观性和统计学的严格性。
不确定度的B类估算，其原始数据并非来自观测列的数据处理，而且基于实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。用于不确定度B类估算的信息来源一般有：
（1） 以前的观测数据；
（2） 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；
（3） 生产部门提供的技术说明文件；
（4） 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等；
（5） 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
（6） 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。
两类估算均以标准差u给出。凡是以标准表示的测量不确定度均称为标准不确定度。必须强调的是：A类不确定度分量与B类不确定度分量仅是估算方法不同，不存在本质差异，都是把误差看成随机变量，其估算都是基于统计规律的概率分布，都可用方差σ2或标准偏差来定量表达，合成时同等对待。只不过A类估算时，是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得，而B类估算是由基于事件发生的信任度（主观概率或称为先验概率）的假定概率密度函数得到。
2.5 测量不确定度表达和评定的依据
长期以来，由于不确定度的含义不清，各国对不确定度的表达和评定方法也不一样。1993年由国际标准化组织（ISO）、国际计量局（BIPM）、国际法制计量组织（OIML）、国际电工委会（IEC）、国际理论化学元素与应用化学联合会（IUPAC）、国际理论物理与应用联合会（IUPAP）、国际临床化学与应用化学联合会（IFCC）等七个国际组织联合发布了《测量不确定度表示指南》（以下简称GUM）。GUM的发布为测量不确定度的表达与评定提供了一个国际上共同的指导性文件。它采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。在我国实施GUM，不仅是不同学科交往的需要，也是全球市场经济发展的需要。为此，我国从易于理解、便于操作、有利过渡出发，在原则上等同采用GUM基本内容的基础上，制定了国家计量技术规范畴——JJF1059－1999《测量不确定度评定与表示》。该规范给出了常见情况下，评定与表达测量不确定度的原则和简要步骤，具有通用性，是我们表达和评定测量不确定度的依据。
2.6 测量不确定度的评定及测量结果的最终表达
2.6.1 建立被测量Y的数字模型（寻找不确定的来源，确定被测量Y和各输入量X之间的关系）
在测量中，被测量（即输出量）Y由N个对其测量结果y产生影响的其他量（即输入量）
X1，X2，…，XN，通过函数关系ƒ来确定：
Y=ƒ（X1，X2，…，XN）
这个函数关系式称为数字模型或测量模型。
如被测量Y的估计值为y，输入量的Xi估计值为xi，则有：
y=ƒ（X1，X2，…，XN）
输入量X1，X2，…，XN本身也可看做被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的Y的函数关系式，以致函数ƒ不能明确表示出来。如果数据表明ƒ没有能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在ƒ中增加输入量（即影响量）。
输入量X1，X2，…，XN可以是由当前直接测定的量（它们的值与不确定度可和得单一观
测，重复观测，依据经验对信息估计，并可包括测量仪器读数正值及环境温度、湿度影响的修正值），也可以是由外部引入的量（如已校准的测量标准，有证参考物质，由手册得到的参考数据等）。
X1的不确定度是y的不确定度来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、环境条件、测量人员、测量方法以及被测量等方面考虑，应做到不重复、不遗漏遗漏会使y的不确定度过小，重复会使y的不确定度过大。
2.6.2求被测量Y的最佳估计值y
被测量Y的最佳估计值y可根据数学模型由输入量X1，X2，…，XN的最佳会计值x1，x2，…，xN求得。
在计算过程中，必须通过对数据的检验剔除观测值中的异常值。同时，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，即Y的最佳估计值y应是已修正测量结果。
被测量Y的最佳估计值y的不确定度取决于的x1不确定度u(xi)。评定x1的标准不确定度既可用A类估算也可用B类估算。
2.6.3 标准不确定量的A类评定
对某输入量在重复条件与复现条件进行n次独立观测，得n个观测量结果x1，x2，…，
Xik。
随机变量Xi的最佳估计是n次独立观测结果的算术平均值xi。
= ( + +…+ )=
实验观测列中一次测量值的实验标准偏差（称为样本标准差或单次测量的标准偏差）
s( )=
s( )表征了 的分散性。确切地说，表征了它们的平均值 上下的分散性。
通常以独立观测列的算术平均值 作为测量结果。测量结果 的标准不确定度u( )就是观测列算术平均值的实验标准偏差s( )：
u( )=s( )= =
式中 =n-1称为自由度。观测次数n应充分多，一般应使 ≥5。
上述评定中，测量的重复观测量值应相互独立。若多次测量中存在相关的随机效应，应采用专门为相关的随机变量测量列的数据处理设计的统计方法来分析观测值。
2.6.4标准不确定度的B类评定
对于不能或不必重复测量的输入量 ，可根据已有的资料或查取的信息对 的标准不确定度进行B类估算。
如估计值 已明确给扩展不确定度U或Up，可按下式估算 的标准不确定度：
u( )= 或u( )=
式中：k 或kp为包含因子。
正态分布情况下置信概率p与包含因子kp间的关系见表2-5-1。
表2-5-1 正态分布情况下置信概率p与包含因子kp间的关系
P(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
kp 0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3
如果已知或可估计出Xi的近似分布，且知道或可计算出其所处置信区间的半宽a，则
u( )=
可按下式估算 的标准不确定度：
式中：k为置信因子。
常用公布与k、u( )关系见有2-5-2。
表2-5-2 常用分布与k、u( )
分布类别 P(%) k u( )
正态 99.73 3 a/3
三角 100
a/
梯形β=0.71 100 2 a/2
矩形（均匀） 100
a/
反正弦 100
a/
两点 100 0 A
为了知道不确定度的评定质量，要给出其自由度 ，B类评定的自由度与所得到标准不确定度u( )的相对标准不确定度 有关：
按上式计算出的 列于表2-5-3
表2-5-3 与 关系
0
0010
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50 ∞
50
12
8
6
3
2
2.6.5 合成标准不确定度的评定
当全部输入量Xi彼此独立或不相关时，合成标准不确定度 与 有下列关系：
该式是基于泰勒级数的一阶近似，称为“不确定度传播律”。
于是合成标准不确定度为：
式中： 是在Xi=xi时导出的，称为灵敏系数（或不确定度传播系数），除直接求偏导数外，有时灵敏系数还可由实验测定。
为由输入量Xi的不确定度导致的被测量y的标准不确定度分量。
上述合成标准不确定度计算，当输入量Xi明显相关时，还需考虑其相关性。
合成标准不确定度 的自由度称为有效自由度Veff，它可由韦尔奇——萨特思韦特（Welch Satterthwaite）公式计算：
当Xi彼此独立时，如果测量数学模型的表现形式为：
则采用相对标准不确定度进行合成比较方便。此时，相对合成标准不确定度是：
其有效自由度可由下式来得：
通常在报告以下测量结果时，可直接使用合成标准不确定度 ，同时给出自由度Veff:
（1） 基础计量学研究；
（2） 基本物理常量测量；
（3） 复现国际单位制单位的国际比对。
2.6.6扩展不确定度的评定及测量结果的最终表达
在日常检测中，尤其是涉及一些商业、工业和生产安全、人体健康的法规要求以及常规计量测试领域，测量结果的不确定度只用合成标准不确定度（即标准差）给出时，常因其置信概率太小，而不很实用，因而需要在合成标准不确定度的基础上，增加其置信概率，并相应扩大其不确定度。其方法是将合成标准不确定度乘以一个包含因子得到扩展不确定度。
扩大不确定度有两种形式：
（1） 扩展不确定度常用U表示，即：
U=k
式中：k为包含因子。K值一般取2－3，在大多数情况下，取k=2，当取其他值时，应说明其来源。
当用扩展不确定度U表示时，可以期望在y－U至y+U的期间内，包含了测量结果可能值的大部分。
（2）扩展不确定度用UP表示，即
式中：kp为包含因子，它与y的分布有关。当可以按中心极限定理估计接近正态分布时，
kp采用t分布临界值（或简称t值,可由表2-5-4查得）。kp=tp(Veff),一般采用的p值为99%和95%，在大多数情况下，采用p=95%。对某些测量标准的检定或校准，根据有关规定，可采用p=99%.当Veff充分大时,可以近似认为k95=2,k99=3从而分别得到了U95=2uc(y)、U99=3uc(y)。
当以U报告最终测量结果时，可采用以下两种形式之一，但k值均必须指明。
例如： =0.35mg,取包含因子k=2，U=2×0.35mg=0.70mg，则：
（a） m=100.02147g,U=0.70mg;k=2
（b） m=(100.02147±0.00070)g;k=2
表2-5-4 t分布在不同概率p与自由度v的tp(v)值(t值)
自由度v p×100
68.27
90 95 95.45
99 99.73a
1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80
2 1.32 2.92 4.30 4.53 9.92 19.21
3 1.20 2.35 3.18 3.31 5.84 9.22
4 1.14 2.13 2.78 2.87 4.60 6.62
5 1.11 2.02 2.57 2.65 4.03 5.51
6 1.09 1.94 2.45 2.52 3.71 4.90
7 1.08 1.89 2.36 2.43 3.50 4.53
8 1.07 1.86 2.31 2.37 3.36 4.28
9 1.06 1.83 2.26 2.32 3.25 4.09
10 1.05 1.81 2.23 2.28 3.17 3.96
11 1.05 1.80 2.20 2.25 3.11 3.85
12 1.04 1.78 2.18 2.23 3.05 3.76
13 1.04 1.77 2.16 2.21 3.01 3.69
14 1.04 1.76 2.14 2.20 2.98 3.64
15 1.03 1.75 2.13 2.18 2.95 3.59
16 1.03 1.75 2.12 2.17 2.92 3.54
17 1.03 1.74 2.11 2.16 2.90 3.51
18 1.03 1.73 2.10 2.15 2.88 3.48
19 1.03 1.73 2.09 2.14 2.86 3.45
20 1.03 1.72 2.09 2.13 2.85 3.42
25 1.02 1.71 2.06 2.11 2.92 3.54
30 1.02 1.70 2.04 2.09 2.75 3.27
35 1.01 1.70 2.03 2.07 2.72 3.23
40 1.01 1.68 2.02 2.06 2.70 3.20
45 1.01 1.68 2.01 2.06 2.69 3.16
50 1.01 1.68 2.01 2.05 2.68 3.16
100 1.005 1.660 1.984 2.025 2.626 3.077
∞ 1.000 1.645 1.960 2.00 2.576 3.000
a:对期望u1，总体标准a的正态分布描述某量z，当k=1，2，3时，区间u±kσ分别包含分布的68.27%,95.45%,99.73%.
当以Up报告最终测量结果时，可采用以下4种形式之一，但有效自由度Veff均需指明。
例如： =0.35mg，Veff=9，按p=95%，查表2-5-4得kp=t95(9)=2.26；U95=2.26×0.35mg=0.79mg则：
（a）m=100.02147g；U95=0.79mg，Veff=9。
（b）m=100.02147(79)g；Veff=9，括号内为U95之值，其末位与前面结果内末位数对齐。
（c）m=100.02147(0.00079)g；Veff=9，括号内为U95之值，与前面结果有相同计量间位。
（d）m=100.02147(±0.00079)g；Veff=9，括号内第二项为U95之值。为了更明确起见，推荐以下说明方式：“式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=k95uc(m)，而合成标准不确定度uc(m)=0.35mg，自由度Veff=9，包含因子kp=t95(9)=2.26，从而具有约95%概率的置信区间。”
报告最终测量结果时，应注意有效位数。通常 和U（或Up）最多取2位有效数字，且y与 和U（或Up）的修约间隔应相同。不确定度也可以相对形成urel(y)或Urel报告。
2.7 测量不确定度评定实例
2.7.1 实例一
对某被测量Y进行n=9次独立重复测量，平均值 =100.0（其测量单位）。按贝塞尔公式计算得到单次测量的实验标准差s=0.90，设其他系统效应引起的不确定度分量可忽略不计。已知置信概率p=95%，自由度v=8时t分布临界值t95(8)=2.31，试计算测量结果的扩展不确定度U95，并完整报告测量结果。
因系统效应引起的不确定度分量可忽略不计，则：
扩展不确定度
被测量的测量结果
式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=0.7，而合成标准不确定度 ，自由度v=8，包含因子 ，从而具有约95%概率的置信区间。
2.7.2 实例二
手册中给出纯铜在20℃时的线膨胀系数a20(Cu)，为16.52×10-6℃-1,并指明其最小可能值为16.52×10-6℃-1，最大可能值为16.52×10-6℃-1。试计算其相对标准不确定度urel(a)(仅需保留1位有效数字）。
分布可能值的范围其半宽 为：
标准不确定度：
相对标准不确定度：
2.7.3实例三
在20℃下用千分尺直接测量某工件长度 ，重复测量n=9次，得其平均值 单次测量的实验标准偏差 。设从技术规范中得知千分尺示值的最大允许误差为±1.02um(即 um，该信息充分可靠)，求 的扩展不确定度U95，并完整报告测量结果。
=9-1=8
因千分尺示值的最大允许误差为 um，按均匀分布估计，其标准不确定度：
认为vB=∞
查t分布临界值表得：
扩展不确定度U95=2.09×0.00010cm=0.00021cm
式中：正负号后的值为扩展不确定度U95=0.00021cm，而合成标准不确定度 ，自由度Veff=19，包含因子k95=2.09，从而具有约95%概率的置信区间。
2.7.4 实例四
用千分尺测量与其同材料的圆柱体在20℃时的体积（提示：数字模型为 ，其中：d——直径；h——高），设 取值的不确定度为零，测量中，温度偏离20℃以及千分尺与圆柱体间温度差引起的不确定度、千分尺示值不确定度均忽略不计，并通过测量方法的选择确定保d与h的测量相互独立。已知：分别对直径d和高h进行9次测量，得平均值 , ，单次测量的标准偏差分别为 : 。求置信概率为95%时圆柱体体积V测量结果的扩展不确定度U95,并完整表达测量结果。
数学模型
圆柱体体积
因此，合成标准不确定度：
k95=T95(8)=2.31
U95=k95•uc(V)=2.31×5.10×10-3cm3=1.2×10-2cm3
V=(2.500±0.012)cm3
式中：正负号后的值为扩展不确定度U95=0.012cm3，而合成标准不确定度uc(V)=5.10×10-3cm3，自由度Veff=8，包含因子k95=2.31，从而具有约95%置信概率的置信区间。
2 测量不确定度
2.1测量不确定度的表达与评定的重要意义
2.1.1测量不确定度是测量结果质量和水平的科学表达
为了认识事物，了解自然，人们进行了大量的测量工作。然而众所周知，由于认识的局限性、能力的不足，任何测量都不可能绝对准确，都必然有误差。由于真值是一理想的概念，不可能准确知道，因此，误差也不可能准确知道。测量结果准不准？测量结果的质量如何？水平如何？有多大的可靠性和置信度，必须有一个公认的科学的表达，这是测量不确定度。
测量不确定度是指测量结果不能肯定的程度。显而易见，不确定度愈小，测量结果的质量愈高，其使用价值也愈高；反之，不确定度愈大，测量结果的质量愈低，其使用价值也愈低。因此在进行测量时，在说明和使用测量结果时，必须考虑测量不确定度。严格来说，不知道不确定度的测量结果，无法相互比较，不具备使用价值，是没有意义的。
2.1.2 正确表达和评定测量不确度是国际通行的新要求
随着全球市场经济的发展，质量意识的增强，国际交往的增多，对检测质量提出了愈来愈高的要求。实理国与国之间检测结果的互认，形成全球检测大市场已是大势所趋。为了保证检测质量，许多国家和国际组织在其有关标准和技术规范文件中，都不同程度地从各个角度对检测的不确定度提出了要求。
在ISO 9000族《质量管理和质量保证》国际标准中，涉及“检验、测量和试验设备的控制”的条款中都明确指出，“检验、测量和试验设备使用时，应确保测量不确定度已知”，“并符合所要求的测量能力“。
在ISO 10012-1：1992《测量设备的质量保证要求第Ⅰ部分 测量设备的计量确认体系》中将“测量不确定度”和“不确定度的累计影响”作为计量确认体系的重要要素。
在ISO 10012-2：1993《测量设备的质量保证要求第Ⅱ部分 测量过程控制》中把砍保测量不确定度作为测量过程控制的重要内容。
在ISO/IEC导则25《校准与测试实验室能力的通用要求》中，也明确指出必要时实验室的每份证书或报告，必须包含有关评定校准或测试结果不确定度的说明等。
由此可见，正确表达和评定测量不确定度是当前国际上开展产品质量认证、体系认证和实验室认可以及国际互认协议中普遍提出的新要求。
2.2 测量不确定度的概念
不确定度一词有两种概念。一种是定性的概念，就广义而言，测量不确定度意为测量结果正确性的可疑程度；另一种是定量的概念，用于定量表示测量结果的分散性。不带形容词的不确定度用于定性，即一般概念。当需要明确某一测量结果的不确定度时，要采用适当的形容词。
1993年七个国际组织发布的《国际通用计量学基本术语》和我国的JJF1001－1998《通用计量术语及定义》都对测量不确定度作了可操作性的定义：
测量不确定度是“与测量结果相联系的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。”
该定义有两层含义。
含义一：测量不确定度是一个参数，它与测量结果相联系（但非计量学方面的“相关”），又独立于测量结果（与测量结果不存在固定的函数关系）。同时，定义中的“相联系”还表明，就最终测量结果的表达而言，测量不确定度这一参数，是最终测量结果表达的一个组成部分。因此没有给了测量不确定度的测量结果是不完整的，严格来说是没有意义的。
含义二：测量不确定度是表明被测量之值分散性的一个参数，它反映被测量结果之间的不一致程度。这一参数可以是标准偏差（或其倍数）或置信区间的半宽度。
2.3 测量不确定度的来源
测量不确定度的存在说明人们对被测量及其测量缺乏确切的了解。测量中可能导致不确定的来源一般有：
（1） 被测量的定义的不完整；
（2） 复向被测量的测量方法不理想；
（3） 取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；
（4） 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；
（5） 对模拟式仪器的读数存在人为偏移；
（6） 测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阀、分辨力、死区及稳定性等）的局限性；
（7） 测量标准或参考物质的不确定度；
（8） 引用的数据或其他参量的不确定度；
（9） 测量方法和测量程序中的近似和假设；
（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化。
上述不确定度的来源可能相关，例如（2）、（3）、（10）可能与前面各项有关。
对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量结果的误差。
2.4 测量不确定度的分类
如上所述，测量不确定度来源于若干因素，这些因素对测量结果形成若干不确定度分量。
长期以来，人们把测量误差分为随机误差和系统误差的方法用于测量不确定度的分类，
即将测量不确定度分为随机不确定度和系统不确定度。然而这种分类方法不科学也不严密，极易导致误解和混淆。因为“系统”在变化时，就可以成为“随机”，“随机”在特殊情况下也可能成为“系统”。因此，在七个国际组织认可通过的《测量不确定度表示指南》中，放弃了“随机不确定度”和“系统不确定度”的提法，并明确表示不予使用。
根据《测量不确定度表示指南》，测量不确定度按其估算方法分为两类，即A类和B类。一种方法，估算出的不确定度有时候称为A类不确定度。所谓不确定度的B类估算是指通过不同于对观察列进行统计分析，对标准不确定度进行估算的一种方法。估算出的不确定度有时候称为B类不确定度。
不确定度的A类估算由观测列统计结果的统计分布来估计，其统计分布来自观测列的数据处理，具有客观性和统计学的严格性。
不确定度的B类估算，其原始数据并非来自观测列的数据处理，而且基于实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。用于不确定度B类估算的信息来源一般有：
（1） 以前的观测数据；
（2） 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；
（3） 生产部门提供的技术说明文件；
（4） 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等；
（5） 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
（6） 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。
两类估算均以标准差u给出。凡是以标准表示的测量不确定度均称为标准不确定度。必须强调的是：A类不确定度分量与B类不确定度分量仅是估算方法不同，不存在本质差异，都是把误差看成随机变量，其估算都是基于统计规律的概率分布，都可用方差σ2或标准偏差来定量表达，合成时同等对待。只不过A类估算时，是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得，而B类估算是由基于事件发生的信任度（主观概率或称为先验概率）的假定概率密度函数得到。
2.5 测量不确定度表达和评定的依据
长期以来，由于不确定度的含义不清，各国对不确定度的表达和评定方法也不一样。1993年由国际标准化组织（ISO）、国际计量局（BIPM）、国际法制计量组织（OIML）、国际电工委会（IEC）、国际理论化学元素与应用化学联合会（IUPAC）、国际理论物理与应用联合会（IUPAP）、国际临床化学与应用化学联合会（IFCC）等七个国际组织联合发布了《测量不确定度表示指南》（以下简称GUM）。GUM的发布为测量不确定度的表达与评定提供了一个国际上共同的指导性文件。它采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。在我国实施GUM，不仅是不同学科交往的需要，也是全球市场经济发展的需要。为此，我国从易于理解、便于操作、有利过渡出发，在原则上等同采用GUM基本内容的基础上，制定了国家计量技术规范畴——JJF1059－1999《测量不确定度评定与表示》。该规范给出了常见情况下，评定与表达测量不确定度的原则和简要步骤，具有通用性，是我们表达和评定测量不确定度的依据。
2.6 测量不确定度的评定及测量结果的最终表达
2.6.1 建立被测量Y的数字模型（寻找不确定的来源，确定被测量Y和各输入量X之间的关系）
在测量中，被测量（即输出量）Y由N个对其测量结果y产生影响的其他量（即输入量）
X1，X2，…，XN，通过函数关系ƒ来确定：
Y=ƒ（X1，X2，…，XN）
这个函数关系式称为数字模型或测量模型。
如被测量Y的估计值为y，输入量的Xi估计值为xi，则有：
y=ƒ（X1，X2，…，XN）
输入量X1，X2，…，XN本身也可看做被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的Y的函数关系式，以致函数ƒ不能明确表示出来。如果数据表明ƒ没有能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在ƒ中增加输入量（即影响量）。
输入量X1，X2，…，XN可以是由当前直接测定的量（它们的值与不确定度可和得单一观
测，重复观测，依据经验对信息估计，并可包括测量仪器读数正值及环境温度、湿度影响的修正值），也可以是由外部引入的量（如已校准的测量标准，有证参考物质，由手册得到的参考数据等）。
X1的不确定度是y的不确定度来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、环境条件、测量人员、测量方法以及被测量等方面考虑，应做到不重复、不遗漏遗漏会使y的不确定度过小，重复会使y的不确定度过大。
2.6.2求被测量Y的最佳估计值y
被测量Y的最佳估计值y可根据数学模型由输入量X1，X2，…，XN的最佳会计值x1，x2，…，xN求得。
在计算过程中，必须通过对数据的检验剔除观测值中的异常值。同时，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，即Y的最佳估计值y应是已修正测量结果。
被测量Y的最佳估计值y的不确定度取决于的x1不确定度u(xi)。评定x1的标准不确定度既可用A类估算也可用B类估算。
2.6.3 标准不确定量的A类评定
对某输入量在重复条件与复现条件进行n次独立观测，得n个观测量结果x1，x2，…，
Xik。
随机变量Xi的最佳估计是n次独立观测结果的算术平均值xi。
= ( + +…+ )=
实验观测列中一次测量值的实验标准偏差（称为样本标准差或单次测量的标准偏差）
s( )=
s( )表征了 的分散性。确切地说，表征了它们的平均值 上下的分散性。
通常以独立观测列的算术平均值 作为测量结果。测量结果 的标准不确定度u( )就是观测列算术平均值的实验标准偏差s( )：
u( )=s( )= =
式中 =n-1称为自由度。观测次数n应充分多，一般应使 ≥5。
上述评定中，测量的重复观测量值应相互独立。若多次测量中存在相关的随机效应，应采用专门为相关的随机变量测量列的数据处理设计的统计方法来分析观测值。
2.6.4标准不确定度的B类评定
对于不能或不必重复测量的输入量 ，可根据已有的资料或查取的信息对 的标准不确定度进行B类估算。
如估计值 已明确给扩展不确定度U或Up，可按下式估算 的标准不确定度：
u( )= 或u( )=
式中：k 或kp为包含因子。
正态分布情况下置信概率p与包含因子kp间的关系见表2-5-1。
表2-5-1 正态分布情况下置信概率p与包含因子kp间的关系
P(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
kp 0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3
如果已知或可估计出Xi的近似分布，且知道或可计算出其所处置信区间的半宽a，则
u( )=
可按下式估算 的标准不确定度：
式中：k为置信因子。
常用公布与k、u( )关系见有2-5-2。
表2-5-2 常用分布与k、u( )
分布类别 P(%) k u( )
正态 99.73 3 a/3
三角 100
a/
梯形β=0.71 100 2 a/2
矩形（均匀） 100
a/
反正弦 100
a/
两点 100 0 A
为了知道不确定度的评定质量，要给出其自由度 ，B类评定的自由度与所得到标准不确定度u( )的相对标准不确定度 有关：
按上式计算出的 列于表2-5-3
表2-5-3 与 关系
0
0010
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50 ∞
50
12
8
6
3
2
2.6.5 合成标准不确定度的评定
当全部输入量Xi彼此独立或不相关时，合成标准不确定度 与 有下列关系：
该式是基于泰勒级数的一阶近似，称为“不确定度传播律”。
于是合成标准不确定度为：
式中： 是在Xi=xi时导出的，称为灵敏系数（或不确定度传播系数），除直接求偏导数外，有时灵敏系数还可由实验测定。
为由输入量Xi的不确定度导致的被测量y的标准不确定度分量。
上述合成标准不确定度计算，当输入量Xi明显相关时，还需考虑其相关性。
合成标准不确定度 的自由度称为有效自由度Veff，它可由韦尔奇——萨特思韦特（Welch Satterthwaite）公式计算：
当Xi彼此独立时，如果测量数学模型的表现形式为：
则采用相对标准不确定度进行合成比较方便。此时，相对合成标准不确定度是：
其有效自由度可由下式来得：
通常在报告以下测量结果时，可直接使用合成标准不确定度 ，同时给出自由度Veff:
（1） 基础计量学研究；
（2） 基本物理常量测量；
（3） 复现国际单位制单位的国际比对。
2.6.6扩展不确定度的评定及测量结果的最终表达
在日常检测中，尤其是涉及一些商业、工业和生产安全、人体健康的法规要求以及常规计量测试领域，测量结果的不确定度只用合成标准不确定度（即标准差）给出时，常因其置信概率太小，而不很实用，因而需要在合成标准不确定度的基础上，增加其置信概率，并相应扩大其不确定度。其方法是将合成标准不确定度乘以一个包含因子得到扩展不确定度。
扩大不确定度有两种形式：
（1） 扩展不确定度常用U表示，即：
U=k
式中：k为包含因子。K值一般取2－3，在大多数情况下，取k=2，当取其他值时，应说明其来源。
当用扩展不确定度U表示时，可以期望在y－U至y+U的期间内，包含了测量结果可能值的大部分。
（2）扩展不确定度用UP表示，即
式中：kp为包含因子，它与y的分布有关。当可以按中心极限定理估计接近正态分布时，
kp采用t分布临界值（或简称t值,可由表2-5-4查得）。kp=tp(Veff),一般采用的p值为99%和95%，在大多数情况下，采用p=95%。对某些测量标准的检定或校准，根据有关规定，可采用p=99%.当Veff充分大时,可以近似认为k95=2,k99=3从而分别得到了U95=2uc(y)、U99=3uc(y)。
当以U报告最终测量结果时，可采用以下两种形式之一，但k值均必须指明。
例如： =0.35mg,取包含因子k=2，U=2×0.35mg=0.70mg，则：
（a） m=100.02147g,U=0.70mg;k=2
（b） m=(100.02147±0.00070)g;k=2
表2-5-4 t分布在不同概率p与自由度v的tp(v)值(t值)
自由度v p×100
68.27
90 95 95.45
99 99.73a
1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80
2 1.32 2.92 4.30 4.53 9.92 19.21
3 1.20 2.35 3.18 3.31 5.84 9.22
4 1.14 2.13 2.78 2.87 4.60 6.62
5 1.11 2.02 2.57 2.65 4.03 5.51
6 1.09 1.94 2.45 2.52 3.71 4.90
7 1.08 1.89 2.36 2.43 3.50 4.53
8 1.07 1.86 2.31 2.37 3.36 4.28
9 1.06 1.83 2.26 2.32 3.25 4.09
10 1.05 1.81 2.23 2.28 3.17 3.96
11 1.05 1.80 2.20 2.25 3.11 3.85
12 1.04 1.78 2.18 2.23 3.05 3.76
13 1.04 1.77 2.16 2.21 3.01 3.69
14 1.04 1.76 2.14 2.20 2.98 3.64
15 1.03 1.75 2.13 2.18 2.95 3.59
16 1.03 1.75 2.12 2.17 2.92 3.54
17 1.03 1.74 2.11 2.16 2.90 3.51
18 1.03 1.73 2.10 2.15 2.88 3.48
19 1.03 1.73 2.09 2.14 2.86 3.45
20 1.03 1.72 2.09 2.13 2.85 3.42
25 1.02 1.71 2.06 2.11 2.92 3.54
30 1.02 1.70 2.04 2.09 2.75 3.27
35 1.01 1.70 2.03 2.07 2.72 3.23
40 1.01 1.68 2.02 2.06 2.70 3.20
45 1.01 1.68 2.01 2.06 2.69 3.16
50 1.01 1.68 2.01 2.05 2.68 3.16
100 1.005 1.660 1.984 2.025 2.626 3.077
∞ 1.000 1.645 1.960 2.00 2.576 3.000
a:对期望u1，总体标准a的正态分布描述某量z，当k=1，2，3时，区间u±kσ分别包含分布的68.27%,95.45%,99.73%.
当以Up报告最终测量结果时，可采用以下4种形式之一，但有效自由度Veff均需指明。
例如： =0.35mg，Veff=9，按p=95%，查表2-5-4得kp=t95(9)=2.26；U95=2.26×0.35mg=0.79mg则：
（a）m=100.02147g；U95=0.79mg，Veff=9。
（b）m=100.02147(79)g；Veff=9，括号内为U95之值，其末位与前面结果内末位数对齐。
（c）m=100.02147(0.00079)g；Veff=9，括号内为U95之值，与前面结果有相同计量间位。
（d）m=100.02147(±0.00079)g；Veff=9，括号内第二项为U95之值。为了更明确起见，推荐以下说明方式：“式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=k95uc(m)，而合成标准不确定度uc(m)=0.35mg，自由度Veff=9，包含因子kp=t95(9)=2.26，从而具有约95%概率的置信区间。”
报告最终测量结果时，应注意有效位数。通常 和U（或Up）最多取2位有效数字，且y与 和U（或Up）的修约间隔应相同。不确定度也可以相对形成urel(y)或Urel报告。
2.7 测量不确定度评定实例
2.7.1 实例一
对某被测量Y进行n=9次独立重复测量，平均值 =100.0（其测量单位）。按贝塞尔公式计算得到单次测量的实验标准差s=0.90，设其他系统效应引起的不确定度分量可忽略不计。已知置信概率p=95%，自由度v=8时t分布临界值t95(8)=2.31，试计算测量结果的扩展不确定度U95，并完整报告测量结果。
因系统效应引起的不确定度分量可忽略不计，则：
扩展不确定度
被测量的测量结果
式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=0.7，而合成标准不确定度 ，自由度v=8，包含因子 ，从而具有约95%概率的置信区间。
2.7.2 实例二
手册中给出纯铜在20℃时的线膨胀系数a20(Cu)，为16.52×10-6℃-1,并指明其最小可能值为16.52×10-6℃-1，最大可能值为16.52×10-6℃-1。试计算其相对标准不确定度urel(a)(仅需保留1位有效数字）。
分布可能值的范围其半宽 为：
标准不确定度：
相对标准不确定度：
2.7.3实例三
在20℃下用千分尺直接测量某工件长度 ，重复测量n=9次，得其平均值 单次测量的实验标准偏差 。设从技术规范中得知千分尺示值的最大允许误差为±1.02um(即 um，该信息充分可靠)，求 的扩展不确定度U95，并完整报告测量结果。
=9-1=8
因千分尺示值的最大允许误差为 um，按均匀分布估计，其标准不确定度：
认为vB=∞
查t分布临界值表得：
扩展不确定度U95=2.09×0.00010cm=0.00021cm
式中：正负号后的值为扩展不确定度U95=0.00021cm，而合成标准不确定度 ，自由度Veff=19，包含因子k95=2.09，从而具有约95%概率的置信区间。
2.7.4 实例四
用千分尺测量与其同材料的圆柱体在20℃时的体积（提示：数字模型为 ，其中：d——直径；h——高），设 取值的不确定度为零，测量中，温度偏离20℃以及千分尺与圆柱体间温度差引起的不确定度、千分尺示值不确定度均忽略不计，并通过测量方法的选择确定保d与h的测量相互独立。已知：分别对直径d和高h进行9次测量，得平均值 , ，单次测量的标准偏差分别为 : 。求置信概率为95%时圆柱体体积V测量结果的扩展不确定度U95,并完整表达测量结果。
数学模型
圆柱体体积
因此，合成标准不确定度：
k95=T95(8)=2.31
U95=k95•uc(V)=2.31×5.10×10-3cm3=1.2×10-2cm3
V=(2.500±0.012)cm3
式中：正负号后的值为扩展不确定度U95=0.012cm3，而合成标准不确定度uc(V)=5.10×10-3cm3，自由度Veff=8，包含因子k95=2.31，从而具有约95%置信概率的置信区间。
2009-05-29 01:53
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