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关于控制图上下控制线计算的疑惑,n小于30为什么不用t分布?

@欧阳静茹;欧力威;vstone;洛客;zhjy8578;dragonair
还有很多没有at到的大神.......请帮我答疑解惑
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以Xbar图为例大家都知道上下3σ/√n为控制线,σ=Rbar/d2,所以上下线也是3Rbar/(d2*√n)
在公式中表示为A2Rbar,那么得出
A2=3/(d2*√n)
也就是说A2这个常数是依据d2和n计算出来的,大家可以对照常数表算一下,不论n是多少A2=3/(d2*√n)都成立

那么我的问题是,在大部分情况下子组样本量基本都不大于5个(本贴以5为例),那么凭什么用σ/√n来计算总体标准差?
从教科书中我们可以知道只有当n>30时,σx才约等于σ/√n,而当n<30时应当按照t分布,t检验来计算其t值

如果我们控制线外0.00135的概率来计算,
n>30,Z≈3,控制线为±3σ/√n
n=5,t≈6.62(用TINV(20.00135,4)在excel中计算),控制线应为 ±6.62σ/√n,也就是约为2.2A2Rbar
这2者可是相差甚远了,极容易造成误报镜的错误啊!

反过来计算,t=3时控制线外的概率为0.04(用TDIST(D22,4,2)在excel中计算),那么单边为0.02,这和0.00135差太多

另外R图和S图原理是什么,±3σ吗?
我不论用目前现实正态分布数据还是虚拟的正态分布数据,R和S都无法保证是正太分布,如果R和S无法保证是正太分布,那用±3σ来诠释R图和S图又是否合适?




-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mar 5 2015
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杨格_Alan (威望:645) (江苏 无锡) 机械制造

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楼主提的问题很有意思,说明楼主在认真思考!
 
控制图中用的“点”是子组的均值,统计书上应该提到过:对于任一分布未知的总体(可以是离散的、连续的、可能是均匀分布、也可能是偏态分布),当样本量 n 充分大时,样本均值 X-Bar 近似服从正态分布,均值期望值仍为 μ,方差为σ^2/n.
 
这就是为什么要用子组均值做控制图。
 
做控制图的时候先要研究和认识过程,所以用“分析用”控制图,要取至少100组数据的均值,这时,这100个均值可以看做楼主提到的“n”,远大于30。这样做是确保正态性。
 
至于R-bar/d2和C4*S,它们都是对正态分布正态方差的估计,前面确保了正态性,此时的估计就可以利用子组容量 n 的正态分布样本与总体方差的数学期望的关系来确定 d2 和 C4.(注意 S 不是 σ的无偏估计,所以要用 Cn 来校正,当 n 为 25 时,Cn=1.0105≈1).
 
对于 t-分布,它是在已知总体为正态分布,从中抽取的样本容量小于30,用t-分布来估计改组均值的置信区间会更可靠些:即更保守一些,置信区间的宽度更宽。

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