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09年质量中级工程师考试理论实务与综合知识笔记共享!

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第一章概率统计基础知识
一、概率基础知识
1.掌握随机现象与事件的概念
随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同的相同结果的现象称为随机现象。
特点: 1. 随机现象的结果至少有两个;
2. 至于哪一个出现,事先并不知道;
确定性现象:只有一个结果的现象。
样本空间:随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间,记着
认识随机现象首要的是罗列出它的一切可能的发生的基本结果。

2.熟悉事件的运算(对立事件、并、交及差)
事件:随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件。常用大写字母A、B、C等表示。
事件的特征:
1. 任一事件A是相应样本空间中一个子集;
2. 事件A发生当且仅当A中某一样本点发生;
3. 事件A的表示,可用集合,也可以用语言,但所用语言应是明白无误的;
4. 任一样本空间都有一个最大的子集,这个最大子集就是样本空间,它对应的事件称为必然事件;
5. 任一样本空间都有一个最小的子集,这个最小子集就是空集,它对应的事件称为不可能事件。
随机事件之间的关系:
1. 包含--若事件A中任一个样本点必在B中,则称A被包含在B中,或B包含A。
2. 互不相容--事件A和B没有相同的样本点,称事件A与B互不相容。(A和B不可能同时发生);
3. 相等--事件A和B含有相同的样本点,称事件A与B相等。
事件的运算:
1. 对立事件:样本空间中,不在事件A中的样本点的集合称为事件A的对立事件。,
2. 事件并:事件A和B中所有样本点的集合。并事件发生,意味着事件A或事件B至少一个发生。
3. 事件交:由事件A和B中公共的样本点组成的新事物称为事件A与B的交。交事件发生意味着A和B同时发生。
4. 事件差:由事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B 的差。
事件的运算的性质:
交换律:

结合律:

分配律:

对偶律:

3.掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念
随机事件的发生与否是带有偶然性,但随机事件发生的可能性还是有大小之别,是可以度量的。
一个随机事件A发生可能性的大小称为事件A的概率。P(A)表示。
概率是一个介于0到1之间的数。概率越大,事件发生的可能性就越大。
不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1;

4.熟悉概率的古典定义及其简单计算
古典定义的要点如下:
1. 所涉及的随机现象只有有限的样本点,设共有n个样本点;
2. 每个样本点出现的可能性相同(等可能性);
3. 若被考察的事件A含有k个样本点,则事件A的概率为
P(A)= k/n = A中所含样本点的个数 / 样本空间中样本点的总数
排列: Prn=n(n-1)…(n-r+1)
组合:(nr)=Prn / r!
不放回抽样P(Am):共有N个,不合格品M个,抽n个,恰有m个不合格品的概率为:




放回抽样P(Bm):共有N个,不合格品M个,抽n个,恰有m个不合格品的概率为:



5.掌握概率的统计定义
概率的统计定义要点如下:
(1)与事件A有关的随机事件的现象是可以大量重复试验的;
(2)在n次重复试验中,事件A发生的次数为kn次,则事件A发生的频率为:
fn(A)=kn /n = /事件A发生的次数/重复试验次数 fn(A)反映事件A发生可能性的大小。
(3)频率fn(A)随着重复试验次数的增加趋于稳定,这个稳定值就是事件A的概率。

6.掌握概率的基本性质
性质1:非负性
性质2:事件A与其对立事件概率之和为1;
性质3:若A包含B,则P(A-B)=
性质4:事件A与B的并的概率=P(A)+P(B)-P(AB)
性质5:多个互不相容事件有:




7.掌握事件的互不相容性和概率的加法法则
8.掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则
独立性:如果事件A的发生不影响另一事件B的发生与否,称事件A和事件B相互独立。
条件概率:

二、随机变量及其分布
(一)随机变量及随机变量分布的概念
1.熟悉随机变量的概念:表示随机现象结果的变量,常用X、Y、Z字母表示,其取值用相应的小写字母x、y、z表示。
2.掌握随机变量的取值及随机变量分布的概念
随机变量的取值是随机的,但内在还是有规律的。这个规律性可以用分布来描述。
认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布。分布包含两点:
(1)X可能取哪些值,或在哪个区间上取值;
(2)X取这些值的概率各是多少,或X在任一区间上取值的概率是多少;
(二)离散随机变量的分布
1.熟悉离散随机变量的概率函数(分布列)
2.熟悉离散随机变量均值、方差和标准差的定义
均值用来表示分布的中心位置,用E(X)表示。


方差用来表示分布的散布大小,用Var


标准差:方差开平方。


随机变量(或其分布)的均值与方差的运算性质:
(1)设X为随机变量,a与b为任意常数,则有:
(2)对任意两个随机变量X1与X2,有:E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)。
(3)设随机变量X1与X2独立,则有:Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2)。
方差的这个性质不能推到标准差场合,即对任意两个相互独立的随机变量X1与X2,
σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2),而应该是σ(X1+X2)=SQRT(Var(X1)+Var(X2)) 。
或者说,对相互独立随机变量来说,方差具有可加性,而标准差不具有可加性。

3.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算
二项分布: (1)重复试验n次;
(2)n次试验相互独立;
(3)每次试验仅有两个可能的结果;
(4)每次试验的成功率为p,失败率为1-p;
当n=1的二项分布为二点分布。

泊松分布: 总与计点过程相关联,并且计点是在一定时间内,一定区域内,或特定单位内的前提下进行的。若。
λ表示某特定单位内的平均点数(λ>0),又令X表示某特定单位内出现的点数,则X取x值的概率为:



超几何分布:从一个有限总体中进行不放回抽样,常会遇到超几何分布。
N个产品的总体,M个不合格品,从中随机抽取n个产品,则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量,假如n≤M
则X的可能取0、1、…n。若n>M,则X的可能取0、1、…M。则X=x的概率为 h(n,N,M)







(三)连续随机变量的分布
1.熟悉连续随机变量的分布密度函数
正态分布:


标准正态分布:






2.熟悉连续随机变量均值、方差、标准差的定义
3.掌握连续随机变量在某个区间内取值概率的计算方法

4.掌握正态分布的定义及其均值、方差、标准差,标准正态分布的分位数
对概率等式 P(U≤1.282)=0.9,有两种说法:
(1)0.9是随机变量U不超过1.282的概率;
(2)1.282是标准正态分布N(0、1)的0.9分位数,也称90%分位数或90百分位数,记着u0.9

5.熟悉标准正态分布表的用法
6.了解均匀分布及其均值、方差与标准差
均匀分布:
E(x)=(a+b)/2;
Var(x)=(b-a)2 / 12

7.熟悉指数分布及其均值、方差和标准差
E(x)=1/λ;
Var(x)=1/λ2;
δ(x)=1/λ;


8.了解对数正态分布及其均值、方差和标准差
化学反应的时间,绝缘材料被击穿的时间,维修时间等分布均服从对数正态分布,其特点如下:
(1)这些随机变量都在正半轴(0,∞)上取值;
(2)大量取值在左边,少量取值在右边,并且分散,也叫“右偏分布”;
(3)若随机变量服从对数正态分布,则经过对数变换Y=lnX后服从正态分布。;
(4)若正态分布的均值为μy,方差为δy2,则对应对数正态分布的均值μx,方差为δx2,


(5)为求对数正态变量X的有关事件概率,经过对数变换后可转化为求相应正态变量Y=lnX的相应事件。
P(X<a)=P(lnX<lna)=P(Y<lna)=Φ((lna-μy)/ δx)


E(aX+b)=aE(X)+b,Var(aX+b)=a2Var(X)。
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